Скалярное произведение векторов/Задачи/Векторное произведение векторов (практика)

Эта статья — часть материалов: курса Аналитическая геометрия

Ортогональный базис

Ортогональный базис - базис $e_{1}, e_{2}, ... e_{n}$ евклидова пространства называется ортогональным, если векторы базиса попарно ортогональны, если кроме того, все векторы базиса имеют единичную длину (нормализованы), то базис называется ортонормированным.

Векторное произведение векторов

Векторное произведение двух векторов - если два вектора $𝐚$ и $𝐛$ представлены в ортонормированном базисе, то их векторное произведение имеет вид

[𝐚, 𝐛] = (a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}, a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z}, a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x})

Векторное произведение двух векторов позволяет найти ось перпендикулярную плоскости, образуемой этими двумя векторами. Нахождение этой оси необходимо при осуществлении поворота одного из этих векторов, так как нужно знать по отношению к какой оси будет осуществляться поворот.

Пример для 3-х мерного пространства

Даны вектора $\vec{A} (2, 2, 2)$ и $\vec{B} (0.5, 0.8, 1.3)$
Тогда их векторное произведение:

[\vec{A}, \vec{B}] = | \begin{matrix} 𝐢 & 𝐣 & 𝐤 \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix} | = (a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}, a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z}, a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}) = (2 \cdot 1.3 - 2 \cdot 0.8, 2 \cdot 0.5 - 2 \cdot 1.3, 2 \cdot 0.8 - 2 \cdot 0.5) = (1, - 1.6, 0.6)

Программный код векторного произведение двух 3-х мерных векторов

public static xyzVector cross(xyzVector v1, xyzVector v2)
{
	return new xyzVector(
			(v1.Y * v2.Z) - (v1.Z * v2.Y),
			(v1.Z * v2.X) - (v1.X * v2.Z),
			(v1.X * v2.Y) - (v1.Y * v2.X)
	);
}

Калькуляторы on-line

Нахождение векторного произведения векторов