Теория вероятностей и математическая статистика/Дискретные случайные величины

Дискретные случайные величины

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно.

Законом распределения дискретной случайной величины $X$ называется соотношение между значениями $x_i$ случайной величины и их вероятностями $𝐏(X=x_i)=p_i,i=1,2,\dots$ . Отметим, что $\sum _i{p}_i=1$.

Многоугольником распределения называют ломаную линию, отрезки которой последовательно соединяют точки с координатами $(x_i,p_i)$ (рис. 1).

Функция распределения дискретной случайной величины (рис. 2) вычисляется по формуле $F(x)=\sum _{x_i<x}𝐏(X=x_i)$.

Операции над случайными величинами

Пусть даны две случайные величины $X$ и $Y$ с законами распределения $p_i=𝐏(X=x_i),i=1,\dots ,n$ и $q_i=𝐏(Y=y_j),j=1,\dots ,m$ соответственно. Тогда над случайными величинами можно произвести следующие операции:

1. Случайная величина $Z=kX$, где $k$ — постоянная, имеет закон распределения $𝐏(Z=k{x}_i)=p_i,i=1,\dots ,n$ .
2. Случайная величина $Z=X\pm Y$ принимает значения вида $z_k=x_i\pm y_j$ с вероятностями $s_k=𝐏(Z=z_k)=\sum _{i,j}{p}_{ij}$, где $p_{ij}=𝐏((X=x_i)\cdot (Y=y_j))$. Две случайные величины называются независимыми, если $𝐏((X=x_i)\cdot (Y=y_j))=𝐏(X=x_i)\cdot 𝐏(Y=y_j)$. Для независимых случайных величин $X$ и $Y$ получим: $𝐏(Z=x_i+y_j)=𝐏((X=x_i)\cdot (Y=y_j))=𝐏(X=x_i)\cdot 𝐏(Y=y_j)=p_i{q}_j$.
3. Случайная величина $Z=XY$ принимает значения вида $z_k=x_i{y}_j$ с вероятностями $s_k=𝐏(Z=z_k)=\sum _{i,j}{p}_{ij}$, где $p_{ij}=𝐏((X=x_i)\cdot (Y=y_j))$.

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Математическим ожиданием дискретной случайной величины $X$ называется число, которое вычисляется по формуле $𝐌X=\sum _i{x}_i{p}_i$.

Свойства математического ожидания:

1. $𝐌C=C$, где $C=const$;
2. $𝐌(CX)=C𝐌(X)$, где $C=const$;
3. $𝐌(X\pm Y)=𝐌(X)\pm M(Y)$ для любых $X$ и $Y$;
4. $𝐌(XY)=𝐌(X)𝐌(Y)$, если $X$ и $Y$ независимы.

Дисперсией дискретной случайной величины $X$ называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: $𝐃X=𝐌(X-𝐌X{)}^2=\sum _i(x_i-𝐌X{)}^2{p}_i$.

Для вычисления дисперсии используют более удобную формулу $𝐃X=𝐌X^2-(𝐌X{)}^2$.

Свойства дисперсии:

1. $𝐃C=0$, где $C=const$;
2. $𝐃(CX)=C^2𝐃(X)$, где $C=const$;
3. $𝐃(X\pm Y)=𝐃(X)\pm 𝐃(Y)$, если $X$ и $Y$ независимы.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется величина $\sigma X=\sqrt{𝐃X}$.

Примеры

Пример 1

В урне 5 белых и 25 черных шаров. Из урны извлекли два шара. Случайная величина $X$ — число вынутых белых шаров.

1. Построить закон распределения;
2. построить многоугольник распределения;
3. найти и построить функцию распределения случайной величины X;
4. найти $𝐏(0<X\le 2)$, $𝐌X$, $𝐃X$.

Решение:

1. Для построения закона распределения необходимо найти все возможные значения случайной величины и соответствующие вероятности. Число вынутых белых шаров может быть 0, 1 или 2, поэтому случайная величина $X$ принимает значения $X=x_1=0$, $X=x_2=1$ и $X=x_3=2$. Вероятности равны: $p_1=𝐏(X=0)=\frac{C_5^0{C}_{25}^2}{C_{30}^2}=\frac{60}{87}$; $p_2=𝐏(X=1)=\frac{C_5^1{C}_{25}^1}{C_{30}^2}=\frac{25}{87}$; $p_3=𝐏(X=2)=\frac{C_5^2{C}_{25}^0}{C_{30}^2}=\frac{2}{87}$.

Составим закон распределения случайной величины $X$:

X	0	1	2
$p_i$	$\frac{60}{87}$	$\frac{25}{87}$	$\frac{2}{87}$

Проверим, что для закона распределения выполняется равенство $p_1+p_2+p_3=1$.

2. Для построения многоугольника распределения необходимо последовательно соединить точки с координатами $(x_i;p_i)$, $i=1,2,3$(рис. 3).

3. Функция распределения случайной величины $X$ имеет следующий вид:

$F(x)=𝐏(X<x)=\sum _{x_i<x}𝐏(X=x_i)=\{\begin{array}{cc}0,& x\le 0,\\ \frac{60}{87},& 0<x\le 1,\\ \frac{85}{87},& 1<x\le 2,\\ 1,& x>2.\end{array}$

График функции изображен на рис. 4.

4. $𝐏(0<X\le 2)=𝐏(X=1)+𝐏(X=2)$$=\frac{25}{87}+\frac{2}{87}=\frac{27}{87}$;

$𝐌X=\sum _{i=1}^3{x}_i{p}_i=0\cdot \frac{60}{87}+1\cdot \frac{25}{87}+2\cdot \frac{2}{87}=\frac{1}{3}$;

$𝐃X=𝐌X^2-(𝐌X{)}^2=0^2\cdot \frac{60}{87}+1^2\cdot \frac{25}{87}+2^2\cdot \frac{2}{87}-(\frac{1}{3}{)}^2=\frac{70}{261}$.

Упражнения

1

По какой формуле вычисляется распределение дискретной случайной величины

	$F(x)=\sum _{x_i>x}𝐏(X=x_i)$
	$F(x)=\sum _{x_i<x}𝐏(X=x_i)$
	$F(x)=\sum _{x_i\le x}𝐏(X=x_i)$

2

По какой формуле вычисляется математическое ожидание дискретной случайной величины $X$

	$𝐌X=\prod _i{x}_i{p}_i$
	$𝐌X=\sum _i{x}_{i}p$
	$𝐌X=\sum _i{x}_i{p}_i$

3

Выберите верные свойства дисперсии

	$𝐃C>0$, где $C=const$
	$𝐃(CX)=C^2𝐃(X)$, где $C=const$
	$𝐃(X\pm Y)=𝐃(X)\pm 𝐃(Y)$, если $X$ и $Y$ независимы