Дискретные случайные величины
[править]
Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно.
Законом распределения дискретной случайной величины называется соотношение между значениями случайной величины и их вероятностями . Отметим, что .
Многоугольником распределения называют ломаную линию, отрезки которой последовательно соединяют точки с координатами (рис. 1).
Функция распределения дискретной случайной величины (рис. 2) вычисляется по формуле .
Операции над случайными величинами
[править]
Пусть даны две случайные величины и с законами распределения и
соответственно. Тогда над случайными величинами можно произвести следующие операции:
- Случайная величина , где — постоянная, имеет закон распределения .
- Случайная величина принимает значения вида с вероятностями , где . Две случайные величины называются независимыми, если . Для независимых случайных величин и получим: .
- Случайная величина принимает значения вида с вероятностями , где .
Числовые характеристики дискретных случайных величин
[править]
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число, которое вычисляется по формуле .
Свойства математического ожидания:
- , где ;
- , где ;
- для любых и ;
- , если и независимы.
Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: .
Для вычисления дисперсии используют более удобную формулу .
Свойства дисперсии:
- , где ;
- , где ;
- , если и независимы.
Средним квадратическим отклонением случайной величины называется величина .
В урне 5 белых и 25 черных шаров. Из урны извлекли два шара. Случайная величина — число вынутых белых шаров.
- Построить закон распределения;
- построить многоугольник распределения;
- найти и построить функцию распределения случайной величины X;
- найти , , .
Решение:
1. Для построения закона распределения необходимо найти все возможные значения случайной величины и соответствующие вероятности. Число вынутых белых шаров может быть 0, 1 или 2, поэтому случайная величина принимает значения , и . Вероятности равны: ; ; .
Составим закон распределения случайной величины :
X |
0 |
1 |
2
|
|
|
|
|
Проверим, что для закона распределения выполняется равенство .
2. Для построения многоугольника распределения необходимо последовательно соединить точки с координатами , (рис. 3).
3. Функция распределения случайной величины имеет следующий вид:
График функции изображен на рис. 4.
4. ;
;
.