Теория вероятностей и математическая статистика/Дискретные случайные величины

Дискретные случайные величины

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно.

Законом распределения дискретной случайной величины $X$ называется соотношение между значениями $x_{i}$ случайной величины и их вероятностями $\mathbf {P} (X=x_{i})=p_{i},i=1,2,\ldots$ . Отметим, что $\displaystyle \sum _{i}p_{i}=1$.

Многоугольником распределения называют ломаную линию, отрезки которой последовательно соединяют точки с координатами $(x_{i},p_{i})$ (рис. 1).

Функция распределения дискретной случайной величины (рис. 2) вычисляется по формуле $F(x)=\displaystyle \sum _{x_{i}<x}\mathbf {P} (X=x_{i})$.

Операции над случайными величинами

Пусть даны две случайные величины $X$ и $Y$ с законами распределения $p_{i}=\mathbf {P} (X=x_{i}),i=1,\ldots ,n$ и $q_{i}=\mathbf {P} (Y=y_{j}),j=1,\ldots ,m$ соответственно. Тогда над случайными величинами можно произвести следующие операции:

1. Случайная величина $Z=kX$, где $k$ — постоянная, имеет закон распределения $\mathbf {P} (Z=kx_{i})=p_{i},i=1,\ldots ,n$ .
2. Случайная величина $Z=X\pm Y$ принимает значения вида $z_{k}=x_{i}\pm y_{j}$ с вероятностями $s_{k}=\mathbf {P} (Z=z_{k})=\displaystyle \sum _{i,j}p_{ij}$, где $p_{ij}=\mathbf {P} ((X=x_{i})\cdot (Y=y_{j}))$. Две случайные величины называются независимыми, если $\mathbf {P} ((X=x_{i})\cdot (Y=y_{j}))=\mathbf {P} (X=x_{i})\cdot \mathbf {P} (Y=y_{j})$. Для независимых случайных величин $X$ и $Y$ получим: $\mathbf {P} (Z=x_{i}+y_{j})=\mathbf {P} ((X=x_{i})\cdot (Y=y_{j}))=\mathbf {P} (X=x_{i})\cdot \mathbf {P} (Y=y_{j})=p_{i}q_{j}$.
3. Случайная величина $Z=XY$ принимает значения вида $z_{k}=x_{i}y_{j}$ с вероятностями $s_{k}=\mathbf {P} (Z=z_{k})=\displaystyle \sum _{i,j}p_{ij}$, где $p_{ij}=\mathbf {P} ((X=x_{i})\cdot (Y=y_{j}))$.

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Математическим ожиданием дискретной случайной величины $X$ называется число, которое вычисляется по формуле $\mathbf {M} X=\displaystyle \sum _{i}x_{i}p_{i}$.

Свойства математического ожидания:

1. $\mathbf {M} C=C$, где $C=const$;
2. $\mathbf {M} (CX)=C\mathbf {M} (X)$, где $C=const$;
3. $\mathbf {M} (X\pm Y)=\mathbf {M} (X)\pm M(Y)$ для любых $X$ и $Y$;
4. $\mathbf {M} (XY)=\mathbf {M} (X)\mathbf {M} (Y)$, если $X$ и $Y$ независимы.

Дисперсией дискретной случайной величины $X$ называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: $\mathbf {D} X=\mathbf {M} (X-\mathbf {M} X)^{2}=\displaystyle \sum _{i}(x_{i}-\mathbf {M} X)^{2}p_{i}$.

Для вычисления дисперсии используют более удобную формулу $\mathbf {D} X=\mathbf {M} X^{2}-(\mathbf {M} X)^{2}$.

Свойства дисперсии:

1. $\mathbf {D} C=0$, где $C=const$;
2. $\mathbf {D} (CX)=C^{2}\mathbf {D} (X)$, где $C=const$;
3. $\mathbf {D} (X\pm Y)=\mathbf {D} (X)\pm \mathbf {D} (Y)$, если $X$ и $Y$ независимы.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется величина $\sigma X={\sqrt {\mathbf {D} X}}$.

Примеры

Пример 1

В урне 5 белых и 25 черных шаров. Из урны извлекли два шара. Случайная величина $X$ — число вынутых белых шаров.

1. Построить закон распределения;
2. построить многоугольник распределения;
3. найти и построить функцию распределения случайной величины X;
4. найти $\mathbf {P} (0<X\leq 2)$, $\mathbf {M} X$, $\mathbf {D} X$.

Решение:

1. Для построения закона распределения необходимо найти все возможные значения случайной величины и соответствующие вероятности. Число вынутых белых шаров может быть 0, 1 или 2, поэтому случайная величина $X$ принимает значения $X=x_{1}=0$, $X=x_{2}=1$ и $X=x_{3}=2$. Вероятности равны: $p_{1}=\mathbf {P} (X=0)={\frac {C_{5}^{0}C_{25}^{2}}{C_{30}^{2}}}={\frac {60}{87}}$; $p_{2}=\mathbf {P} (X=1)={\frac {C_{5}^{1}C_{25}^{1}}{C_{30}^{2}}}={\frac {25}{87}}$; $p_{3}=\mathbf {P} (X=2)={\frac {C_{5}^{2}C_{25}^{0}}{C_{30}^{2}}}={\frac {2}{87}}$.

Составим закон распределения случайной величины $X$:

X	0	1	2
$p_{i}$	${\frac {60}{87}}$	${\frac {25}{87}}$	${\frac {2}{87}}$

Проверим, что для закона распределения выполняется равенство $p_{1}+p_{2}+p_{3}=1$.

2. Для построения многоугольника распределения необходимо последовательно соединить точки с координатами $(x_{i};p_{i})$, $i=1,2,3$(рис. 3).

3. Функция распределения случайной величины $X$ имеет следующий вид:

$F(x)=\mathbf {P} (X<x)=\displaystyle \sum _{x_{i}<x}\mathbf {P} (X=x_{i})={\begin{cases}0,&\quad x\leq 0,\\{\frac {60}{87}},&\quad 0<x\leq 1,\\{\frac {85}{87}},&\quad 1<x\leq 2,\\1,&\quad x>2.\end{cases}}$

График функции изображен на рис. 4.

4. $\mathbf {P} (0<X\leq 2)=\mathbf {P} (X=1)+\mathbf {P} (X=2)$$={\frac {25}{87}}+{\frac {2}{87}}={\frac {27}{87}}$;

$\mathbf {M} X=\displaystyle \sum _{i=1}^{3}x_{i}p_{i}=0\cdot {\frac {60}{87}}+1\cdot {\frac {25}{87}}+2\cdot {\frac {2}{87}}={\frac {1}{3}}$;

$\mathbf {D} X=\mathbf {M} X^{2}-(\mathbf {M} X)^{2}=0^{2}\cdot {\frac {60}{87}}+1^{2}\cdot {\frac {25}{87}}+2^{2}\cdot {\frac {2}{87}}-({\frac {1}{3}})^{2}={\frac {70}{261}}$.