Теория вероятностей и математическая статистика/Дискретные случайные величины

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Дискретные случайные величины[править]

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно.

Законом распределения дискретной случайной величины называется соотношение между значениями случайной величины и их вероятностями . Отметим, что .

Многоугольником распределения называют ломаную линию, отрезки которой последовательно соединяют точки с координатами (рис. 1).

Функция распределения дискретной случайной величины (рис. 2) вычисляется по формуле .

Операции над случайными величинами[править]

Пусть даны две случайные величины и с законами распределения и соответственно. Тогда над случайными величинами можно произвести следующие операции:

  1. Случайная величина , где — постоянная, имеет закон распределения .
  2. Случайная величина принимает значения вида с вероятностями , где . Две случайные величины называются независимыми, если . Для независимых случайных величин и получим: .
  3. Случайная величина принимает значения вида с вероятностями , где .

Числовые характеристики дискретных случайных величин[править]

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число, которое вычисляется по формуле .

Свойства математического ожидания:

  1. , где ;
  2. , где ;
  3. для любых и ;
  4. , если и независимы.

Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: .

Для вычисления дисперсии используют более удобную формулу .

Свойства дисперсии:

  1. , где ;
  2. , где ;
  3. , если и независимы.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется величина .

Примеры[править]

Пример 1[править]

В урне 5 белых и 25 черных шаров. Из урны извлекли два шара. Случайная величина — число вынутых белых шаров.

  1. Построить закон распределения;
  2. построить многоугольник распределения;
  3. найти и построить функцию распределения случайной величины X;
  4. найти , , .

Решение:

1. Для построения закона распределения необходимо найти все возможные значения случайной величины и соответствующие вероятности. Число вынутых белых шаров может быть 0, 1 или 2, поэтому случайная величина принимает значения , и . Вероятности равны: ; ; .

Составим закон распределения случайной величины :

X 0 1 2

Проверим, что для закона распределения выполняется равенство .

2. Для построения многоугольника распределения необходимо последовательно соединить точки с координатами , (рис. 3).

3. Функция распределения случайной величины имеет следующий вид:

График функции изображен на рис. 4.

4. ;

;

.

Упражнения[править]