Теория вероятностей и математическая статистика/Основные определения, классическая схема, геометрические вероятности

Основные определения

Эксперимент

Под экспериментом (или испытанием) будем понимать выполнение определенных условий, при которых наблюдается изучаемое явление. Например, экспериментом будет бросание монеты или игрального кубика, стрельба по мишени, извлечение шара из ящика и т. д

Пространство элементарных исходов

Пространство элементарных событий $\Omega$ в случае бросания игральной кости

Множество взаимоисключающих исходов эксперимента будет называться пространством элементарных исходов и обозначаться $\Omega$.

Элементарное событие

Элементы пространства $\Omega$ будем обозначать буквой $\omega$ и называть элементарными событиями (или исходами).

Событие

Событием будем называть любое подмножество $\Omega$. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита $A,B,C,\ldots$ .

Событие, состоящее из всего множества $\Omega$, называется достоверным. Пустое множество $\varnothing$ называется невозможным событием.

Вероятность

Вероятности выпадения чисел при броске двух игральных костей.

Для количественной оценки возможности появления случайного события вводится понятие вероятности. Далее будем предполагать, что множество $\Omega$ состоит из конечного числа элементарных событий. Говорят, что заданы вероятности элементарных событий, если на $\Omega$ задана неотрицательная числовая функция $\mathbf {P}$, такая, что

$\sum \limits _{\omega \in \Omega }\mathbf {P} (\omega )=1$

Вероятностью события $A$ называется число $\mathbf {P} (A)=\sum \limits _{\omega \in A}\mathbf {P} (\omega )$

Пусть $\Omega$ состоит из $n$ элементов и все исходы равновероятны, т. е. $\mathbf {P} (\omega )={\frac {1}{n}}$для любого $\omega \in \Omega$.

Вероятностью события $A$ называется отношение числа $m$ элементарных исходов, благоприятствующих данному событию $A$, к числу $n$ всех равновозможных исходов эксперимента:

$\mathbf {P} (A)={\frac {m}{n}}$

Это так называемое классическое определение вероятности.

Свойства вероятности

1. $\mathbf {P} (\Omega )=1$
2. $\mathbf {P} (\varnothing )=0$
3. Если $A$ есть случайное событие, то $0<\mathbf {P} (A)<1$

На практике встречаются эксперименты, для которых множество элементарных исходов бесконечно. В случае, если эксперимент сводится к бросанию точки в область G прямой, плоскости или пространства, то можно использовать геометрическое определение вероятности.

Пусть множество $G_{1}$ принадлежит множеству $G$. Обозначим меру области $G_{1}$ (длину, площадь или объем) через mes $G_{1}$ и меру области $G$ — mes $G$. Тогда вероятность события $A$, которое состоит в том, что наудачу брошенная точка в область $G$ попадает в область $G_{1}$, вычисляется по формуле $\mathbf {P} (A={\frac {mesG_{1}}{mesG}})$

Примеры

Пример 1

Из ящика, в котором 7 красных и 14 синих шаров, наудачу извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлечен синий шар?

Решение:

Обозначим $A$ = {извлечен синий шар}. Будем использовать классическое определение вероятности. Получим $m=14$ — число способов извлечь синий шар из ящика, содержащего $n=21$ шар. Тогда, используя классическое определение вероятности, получим: $\mathbf {P} (A)={\frac {m}{n}}={\frac {14}{21}}={\frac {2}{3}}$.

Пример 2

В партии из 10 деталей 6 бракованных. Для проверки отбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что при проверке окажется две бракованные детали.

Решение:

Пусть $A$ = {среди 5 деталей 2 бракованные}. Число способов выбрать 5 деталей из 10 (общего количества деталей) равно $n=C_{10}^{5}={\frac {10!}{5!\cdot 5!}}={\frac {6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}=252$. Число способов, благоприятствующих событию $A$, равно $m=C_{6}^{2}\cdot C_{4}^{3}=15\cdot 4=60$, так как необходимо учесть все способы отобрать 2 бракованные детали из 6 бракованных в исходной партии и 3 нормальные из 4 нормальных в исходной партии. Используя классическое определение вероятности, получим: $\mathbf {P} (A)={\frac {m}{n}}={\frac {60}{252}}={\frac {5}{21}}$.

Пример 3

В квадрат со стороной $a$ вписан круг. Найти вероятность того, что точка, брошенная в квадрат, окажется внутри круга

Решение:

Обозначим искомое событие через $A$, квадрат — $G$, а круг — $G_{1}$. Мерой фигур в данном случае будет площадь $S$. Тогда, используя геометрическое определение вероятности, найдем

$\mathbf {P} (A)={\frac {mesG_{1}}{mesG}}={\frac {S(G_{1})}{S(G)}}={\frac {\frac {a^{2}\pi }{4}}{a^{2}}}={\frac {\pi }{4}}$

Упражнения

1 Каким из данных символов обозначается пространство элементарных исходов?

	$\Omega$
	$\omega$
	$\varnothing$

2 Продолжите определение: Говорят, что заданы вероятности элементарных событий, если на $\Omega$ задана неотрицательная числовая функция $\mathbf {P}$, такая, что $\dots$

	$\prod \limits _{\omega \in \Omega }\mathbf {P} (\omega )=1$
	$\sum \limits _{\omega \in \Omega }\mathbf {P} (\omega )=0$
	$\sum \limits _{\omega \in \Omega }\mathbf {P} (\omega )=1$

3 Выберите верные свойства вероятности?

	$\mathbf {P} (\Omega )=1$
	$\mathbf {P} (\varnothing )=0$
	Если $A$ случайное событие, то $0\leq \mathbf {P} (A)\leq 1$