Теория вероятностей и математическая статистика/Проверка статистических гипотез

Основные определения

Статистической гипотезой называется предположение относительно вида неизвестного распределения или неизвестных параметров известного распределения случайной величины.

Проверяемая гипотеза $H_{0}$ называется нулевой гипотезой. Альтернативной называют гипотезу $H_{1}$, противоречащую нулевой.

Правило, согласно которому принимается или отклоняется гипотеза $H_{0}$, называется статистическим критерием.

Проверка статистической гипотезы состоит в том, что по имеющейся выборке вычисляется значение некоторой случайной величины $T$, называемой статистикой, точное или приближенное распределение которой известно. Затем по этому распределению определяется критическое значение $T_{cr}$, разбивающее все множество значений статистики критерия на два непересекающихся подмножества: критическую область (область отклонения гипотезы $H_{0}$) и область допустимых значений (область принятия гипотезы $H_{0}$).

При проверке правильности выдвинутой нулевой гипотезы могут быть допущены ошибки двух видов: 1) ошибка первого рода, состоящая в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза; 2) ошибка второго рода, заключающаяся в том, что будет принята неправильная нулевая гипотеза.

Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости критерия и обозначается через $\alpha$. Уровень значимости $\alpha$ определяет размер критической области.

Вероятность ошибки второго рода обозначается через $\beta$.

Проверка статистических гипотез основывается на принципе, в соответствии с которым принимаются события, имеющие большую вероятность, и отвергаются имеющие малую вероятность.

Различают разные виды критических областей:

1. Правостороннюю критическую область, определяемую неравенством $T>T_{cr}(T_{cr}>0)$ (рис. 1);
2. Левостороннюю критическую область, определяемую неравенством $T<T_{cr}(T_{cr}<0)$ (рис. 2);
3. Двустороннюю критическую область, определяемую неравенством $T_{1}<T<T_{2}(T_{2}>T_{1})$ (рис. 3).

Основные этапы проверки статистической гипотезы

Таким образом, проверка статистических гипотез может быть разбита на следующие основные этапы:

1. Формулировка проверяемой($H_{0}$) и альтернативной($H_{1}$) гипотез;
2. Выбор уровня значимости $\alpha$ (стандартные значения $\alpha :0.1;0.05;0.01$);
3. Выбор статистики критерия $T$ (тип критерия);
4. Вычисление эмпирического (наблюдаемого) значения $T^{*}$ выбранной статистики;
5. Определение критических значений статистики $T_{cr}$, найденных по соответствующим таблицам;
6. Принятие решения в зависимости от того, в какую область попадает вычисленное по выборке значение статистики $T^{*}$ (сравнение табличных и вычисленных значений статистики критерия).

Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что верна альтернативная гипотеза; эта вероятность равна $1-\beta$.

После выбора уровня значимости следует строить критическую область так, чтобы мощность критерия была максимальной.

Проверка гипотезы о математическом ожидании   a   нормально распределенной генеральной совокупности

Пусть имеем следующую нулевую гипотезу $H_{0}:a=a_{0}$ и одну из альтернативных:

1. $H_{1}:a>a_{0}$ (правосторонняя критическая область);
2. $H_{1}:a<a_{0}$ (левосторонняя критическая область);
3. $H_{1}:a\neq a_{0}$ (двусторонняя критическая область).

Если известно среднее квадратическое отклонение $\sigma$, то в качестве статистики берется $T={\frac {({\bar {x}}-a_{0}){\sqrt {n}}}{\sigma }}$.

В каждом случае необходимо по выборке вычислить значение $T^{*}={\frac {({\bar {x}}-a_{0}){\sqrt {n}}}{\sigma }}$ и сравнить его с $T_{cr}$.

Соотношения, по которым может быть найдена $T_{cr}$, а также условия для принятия нулевой гипотезы представлены в таблице:

Тип альтернативной гипотезы	Определение $T_{cr}$	Гипотеза $H_{0}$ принимается	Гипотеза $H_{0}$ отвергается
1) $H_{1}:a>a_{0}$	$\Phi (T_{cr})={\frac {1}{2}}-\alpha$	$T^{*}<T_{cr}$ (см. рис. 1)	$T^{*}>T_{cr}$
2) $H_{1}:a<a_{0}$	$\Phi (T_{cr})={\frac {1}{2}}-\alpha$	$T^{*}>-T_{cr}$ (см. рис. 2)	$T^{*}<-T_{cr}$
3) $H_{1}:a\neq a_{0}$	$\Phi (T_{cr})={\frac {1-\alpha }{2}}$	$|T^{*}|<T_{cr}$ (см. рис. 3)	$|T^{*}|>T_{cr}$

Если среднее квадратическое отклонение неизвестно, то статистика критерия $T$ имеет распределение Стьюдента с $n-1$ степенями свободы: $T={\frac {({\bar {x}}-a_{0}){\sqrt {n}}}{s}}$, где $s$ - исправленное среднее квадратическое отклонение.

Критическая точка $T_{cr}=t_{\alpha ,n-1}$ находится из таблицы приложения 3.

Для проверки гипотезы $H_{1}:a>a_{0}$ необходимо по выборке вычислить значение $T^{*}$. Если $T^{*}<T_{cr}$, то гипотеза $H_{0}$ принимается, в противном случае отвергается.

Аналогично проверяются гипотезы для случаев 2) и 3).

Проверка гипотезы о нормальном распределении

Пусть имеется генеральная совокупность $X$, из которой извлечена выборка объема $n$. По данным выборки вычисляются выборочное среднее ${\bar {x}}$ и выборочное среднее квадратическое отклонение $\sigma$. Диапазон значений разбивается на $k$ интервалов и подсчитывается число выборочных значений $n_{i}$, попавших в $i$-й интервал.

Вычисляются теоретические вероятности $p_{i}$ того, что значение случайной величины принадлежит $i$-му интервалу, по формуле $p_{i}=\mathbf {P} (a_{i}<X<b_{i})=\Phi ({\frac {b_{i}-{\bar {x}}}{s}})-\Phi ({\frac {a_{i}-{\bar {x}}}{s}})$, где $a_{i}$ и $b_{i}$ — границы $i$-го интервала.

Необходимо проверить гипотезу $H_{0}$: генеральная совокупность распределена нормально при заданном уровне значимости $\alpha$. Для этого используется критерий Пирсона (критерий $\chi ^{2}$) $\chi ^{2}=\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{\frac {(n_{i}-np_{i})^{2}}{np_{i}}}$.

По данным выборки находится $(\chi ^{2})^{*}$ и сравнивается с критическим значением $\chi ^{2}(\alpha ,l),l=k-3$. Если $(\chi ^{2})^{*}<\chi ^{2}(\alpha ,l)$, то гипотезу $H_{0}$ принимают, в противном случае отвергают. Значение $\chi ^{2}(\alpha ,l)$ находится по таблице приложения 5.

Примеры

Пример 1

Из нормальной генеральной совокупности с известной дисперсией $\sigma ^{2}=25$ извлечена выборка объема $n=30$, и по ней найдено выборочное среднее ${\bar {x}}=12$. При уровне значимости $\alpha =0.05$ проверить нулевую гипотезу о том, что математическое ожидание a соответствующей генеральной совокупности равно $10$. Рассмотреть все возможные альтернативные гипотезы.

Решение:

Необходимо проверить гипотезу $H_{0}:a=10$. Рассмотрим три вида альтернативных гипотез: 1) $H_{1}:a>10$; 2) $H_{1}:a<10$; 3) $H_{1}:a\neq 10$.

1) Найдем по выборке значение $T^{*}={\frac {({\bar {x}}-a_{0}){\sqrt {n}}}{\sigma }}={\frac {(12-10){\sqrt {30}}}{5}}=2.191$.

Критическая точка $T_{cr}$ может быть найдена из условия $\Phi (T_{cr})={\frac {1}{2}}-\alpha =0.45$ (по таблице приложения 2), следовательно, $T_{cr}=1.64$.

Так как $T^{*}>T_{cr}$, гипотеза $H_{0}$ отвергается и принимается гипотеза $H_{1}$.

2) Критическая точка $T_{cr}$ может быть найдена из того же условия $\Phi (T_{cr})={\frac {1}{2}}-\alpha =0.45$, следовательно, $T_{cr}=1.64$.

Так как $T^{*}>-T_{cr}$, гипотеза $H_{0}$ принимается.

3) Критическая точка $T_{cr}$ может быть найдена из условия $\Phi (T_{cr})={\frac {1-\alpha }{2}}=0.475$. Получим: $T_{cr}=1.96$.

Так как $|T^{*}|<T_{cr}$, гипотеза $H_{0}$ принимается.

Пример 2

Имеется генеральная совокупность, из которой извлечена выборка объема $n=50$:

Интервал	$(0;5)$	$(5;10)$	$(10;15)$	$(15;20)$	$(20;25)$	$(25;30)$
$n_{i}$	$5$	$6$	$11$	$13$	$8$	$7$

Проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена нормально при уровне значимости $\alpha =0.05$

Решение:

В качестве вариант возьмем середины интервалов $x_{1}=2.5$; $x_{2}=7.5$; $x_{3}=12.5$; $x_{4}=17.5$; $x_{5}=22.5$; $x_{6}=27.5$. Выборочное среднее равно ${\bar {x}}=(2.5\cdot 5+7.5\cdot 6+12.5\cdot 11+17.5\cdot 13+22.5\cdot 8+27.5\cdot 7)/50=15.9$, выборочное и исправленное средние квадратические отклонения равны $\sigma =7.44$ и $s=7.52$.

Диапазон значений разбит на $k=6$ интервалов.

Теоретические вероятности $p_{i}$ равны $p_{1}=\Phi ({\frac {b_{1}-{\bar {x}}}{s}})-\Phi (-\infty )=\Phi ({\frac {5-15.9}{7.52}})-\Phi (-\infty )=\Phi (-2.114)-\Phi (-\infty )=0.5-0.4332=0.0668$.

Аналогично находятся остальные вероятности: $p_{2}=0.148$, $p_{3}=0.2374$, $p_{4}=0.2532$, $p_{5}=0.1815$, $p_{6}=0.1131$.

Необходимо проверить гипотезу $H_{0}$: генеральная совокупность распределена нормально при заданном уровне значимости $\alpha$. Для этого используется критерий Пирсона (критерий $\chi ^{2}$) $\chi ^{2}=\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{\frac {(n_{i}-np_{i})^{2}}{np_{i}}}$.

По данным выборки находится $(\chi ^{2})^{*}=1.61$ и сравнивается с критическим значением $\chi ^{2}(0.05;3)=7.81$. Так как $(\chi ^{2})^{*}<\chi ^{2}(\alpha ,l)$, гипотезу $H_{0}$ принимают.

Упражнения

1 Статистической гипотезой называется...

	Проверяемая гипотеза $H_{0}$
	называется предположение относительно вида неизвестного распределения или неизвестных параметров известного распределения случайной величины
	Вероятность ошибки первого рода

2 Какого вида критической области не существует?

	Односторонняя критическая область
	Правосторонняя критическая область
	Двусторонняя критическая область

3 По какой формуле вычисляется критерий Пирсона?

	$\chi ^{2}=\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{\frac {(n_{i}-np_{i})^{2}}{p_{i}}}$
	$\chi ^{2}=\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{\frac {(n_{i}-p_{i})^{2}}{np_{i}}}$
	$\chi ^{2}=\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{\frac {(n_{i}-np_{i})^{2}}{np_{i}}}$