Теория вероятностей и математическая статистика/Схема Бернулли. Предельные теоремы для схемы Бернулли

Схема Бернулли

Пусть проводятся $n$ независимых одинаковых испытаний, в каждом из которых может появиться событие $A$ с вероятностью $p$ и не появиться — с вероятностью $q=1-p$. Появление события $A$ называется успехом, а непоявление — неудачей. Тогда вероятность того, что в серии из $n$ испытаний событие $A$ появится ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли: $P_{n}(k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}$

Предельные теоремы для схемы Бернулли

С ростом $n$ форма биномиальной фигуры распределения становится похожа на плавную кривую Гаусса.

При больших значениях $n$ применение формулы Бернулли становится сложным. В таких случаях применяют приближенные формулы для вычисления вероятностей, которые основаны на локальной и интегральной теоремах Муавра - Лапласа.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Если в схеме Бернулли число испытаний $n$ велико, а вероятность $0<p<1$, то для вычисления вероятности $P_{n}(k)$ можно использовать приближенную формулу, основанную на локальной теореме Муавра-Лапласа:

$P_{n}(k)\approx {\frac {1}{\sqrt {npq}}}\varphi (x)$, где $\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},x={\frac {k-np}{\sqrt {npq}}}$

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Обозначим через $P_{n}(k_{1}\leq k\leq k_{2})$ вероятность того, что в схеме Бернулли событие $A$ наступило от $k_{1}$ до $k_{2}$ раз. Тогда, если число испытаний n велико, а вероятность $0<p<1$, из интегральной теоремы Муавра-Лапласа следует, что

$P_{n}(k_{1}\leq k\leq k_{2})\approx \Phi (x_{2})-\Phi (x_{1})$, где $\Phi (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\mathrm {d} t$ - функция Лапласа, $x_{1}={\frac {k_{1}-np}{\sqrt {npq}}},x_{2}={\frac {k_{2}-np}{\sqrt {npq}}}$

Значения функций $\varphi (x)$ и $\Phi (x)$ находятся из соответствующих таблиц приложения 1 и приложения 2. При $x>5$ значение $\Phi (x)$ полагают равным $0.5$. При применении этих функций часто пользуются их свойствами:

1. $\varphi (x)=\varphi (-x)$
2. $\Phi (-x)=-\Phi (x)$

Приближение Пуассона

Функция вероятности

Если в схеме Бернулли $n$ велико, а каждый отдельный успех маловероятен (является редким событием), то для определения вероятности $P_{n}(k)$ используют приближение Пуассона

$P_{n}(k)\approx {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}$, где $\lambda =np$.

Примеры

Пример 1

Вероятность того, что станку в течение рабочего времени потребуется ремонт, равна $0.4$. Найти вероятность того, что в течение дня потребуется ремонт: а) двум станкам из четырех; б) трем и более станкам из четырех.

Решение:

а) В данной задаче $n=4$, $k=2$, $p=0.4$. По формуле Бернулли, получим: $P_{4}(2)=C_{4}^{2}(0.4)^{2}(1-0.4)^{2}=0.3456$.

б) Обозначим событие $A=$ {ремонт потребуется трем и более станкам из четырех}. Данное событие можно выразить с помощью более простых событий: $A_{1}=$ {ремонт потребуется трем станкам из четырех} и $A_{2}=$ {ремонт потребуется всем четырем станкам}. Так как эти события являются несовместными, то $P(A)=P(A_{1}+A_{2})$$=P(A_{1})+P(A_{2})=P_{4}(3)+P_{4}(4)$$=C_{4}^{3}(0.4)^{3}(1-0.4)^{1}+C_{4}^{4}(0.4)^{4}(1-0.4)^{0}=0.1536+0.0256=0.1792$.

Пример 2

Вероятность попадания в цель при каждом из 100 независимых выстрелов постоянна и равна $0.8$. Найти вероятность того, что число попаданий в цель будет: а) 70; б) не менее 70 и не более 80.

Решение:

а) Необходимо найти вероятность $P_{100}(70)$. Применим локальную теорему Муавра – Лапласа: $n=100$, $k=70$, $p=0.8$, $q=1-p=0.2$. Тогда

$x={\frac {k-np}{\sqrt {npq}}}={\frac {70-100\cdot 0.8}{\sqrt {100\cdot 0.8\cdot 0.2}}}=-{\frac {10}{4}}=-2.5$

Используя таблицу из приложения 1, получим: $\varphi (-2.5)=\varphi (2.5)=0.0175$. Искомая вероятность равна $P_{100}(70)\approx {\frac {1}{\sqrt {npq}}}\varphi (x)$$={\frac {1}{4}}\cdot 0.0175\approx 0.0044$.

б) Для нахождения искомой вероятности $P_{100}(70\leq k\leq 80)$ применим интегральную теорему Муавра – Лапласа, где $n=100$, $k_{1}=70$, $k_{2}=80$, $p=0.8$, $q=1-p=0.2$. Найдем значения $x_{1}$ и $x_{2}$:

$x_{1}={\frac {k_{1}-np}{\sqrt {npq}}}={\frac {70-100\cdot 0.8}{\sqrt {100\cdot 0.8\cdot 0.2}}}=-{\frac {10}{4}}=-2.5$:

$x_{2}={\frac {k_{2}-np}{\sqrt {npq}}}={\frac {80-100\cdot 0.8}{\sqrt {100\cdot 0.8\cdot 0.2}}}=0$.

Тогда искомая вероятность равна

$P_{100}(70\leq k\leq 80)\approx \Phi (x_{2})-\Phi (x_{1})$$=\Phi (0)-\Phi (-2.5)=\Phi (0)+\Phi (2.5)$$=0+0.4938=0.4938$ (приложение 2).

Пример 3

Микросхема электронного аппарата выходит из строя в течение часа работы с вероятностью $0.004$. Найти вероятность того, что в течение 1000 часов работы придется менять микросхему пять раз.

Решение:

Так как число испытаний $n=1000$ велико, а вероятность появления события «микросхема выходит из строя в течение часа работы» в одном испытании мала и равна $p=0.004$, то можно использовать приближение Пуассона: $k=5$, $\lambda =np=1000\cdot 0.004=4$. Искомая вероятность равна

$P_{1000}(5)\approx {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}={\frac {e^{-4}4^{5}}{5!}}\approx 0.156$

Упражнения

1 Выберите верную формулу Бернулли при небольших значениях $n$

	$P_{n}(k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}$
	$P_{n}(k)=C_{n}^{k}q^{k}$
	$P_{n}(k)=C_{n}^{k}p^{n-k}q^{k}$

2 В каком случае стоит использовать локальную теорему Муавра-Лапласа?

	Если в схеме Бернулли $n$ велико, а каждый отдельный успех маловероятен
	Если $k_{1}\leq k\leq k_{2}$ и в схеме Бернулли число испытаний $n$ велико, а вероятность $0<p<1$
	Если в схеме Бернулли число испытаний $n$ велико, а вероятность $0<p<1$

3 Выберите верные свойства функций $\varphi (x)$ и $\Phi (x)$,где $\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$ и $\Phi (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\mathrm {d} t$ - функция Лапласа

	$\varphi (x)=\varphi (-x)$
	$\Phi (-x)=-\Phi (x)$
	$\Phi (x)=-\Phi (x)$
	$\varphi (x)=-\varphi (x)$