Теория вероятностей и математическая статистика/Схема Бернулли. Предельные теоремы для схемы Бернулли

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Схема Бернулли[править]

Пусть проводятся независимых одинаковых испытаний, в каждом из которых может появиться событие с вероятностью и не появиться — с вероятностью . Появление события называется успехом, а непоявление — неудачей. Тогда вероятность того, что в серии из испытаний событие появится ровно раз, вычисляется по формуле Бернулли:

Предельные теоремы для схемы Бернулли[править]

При больших значениях применение формулы Бернулли становится сложным. В таких случаях применяют приближенные формулы для вычисления вероятностей, которые основаны на локальной и интегральной теоремах Муавра - Лапласа.

Локальная теорема Муавра-Лапласа[править]

Если в схеме Бернулли число испытаний велико, а вероятность , то для вычисления вероятности можно использовать приближенную формулу, основанную на локальной теореме Муавра-Лапласа:

, где

Интегральная теорема Муавра-Лапласа[править]

Обозначим вероятность того, что в схеме Бернулли событие наступило от до раз. Тогда, если число испытаний n велико, а вероятность , из интегральной теоремы Муавра-Лапласа следует, что

, где - функция Лапласа,

Значения функций и находятся из соответствующих таблиц приложений 1 и 2. При значение \Phi(x) полагают равным . При применении этих функций часто пользуются их свойствами:

Приближение Пуассона[править]

Если в схеме Бернулли велико, а каждый отдельный успех маловероятен (является редким событием), то для определения вероятности используют приближение Пуассона

, где .

Примеры[править]

Пример 1[править]

Вероятность того, что станку в течение рабочего времени потребуется ремонт, равна . Найти вероятность того, что в течение дня потребуется ремонт: а) двум станкам из четырех; б) трем и более станкам из четырех.

Решение:

а) В данной задаче , , . По формуле Бернулли, получим: .

б) Обозначим событие {ремонт потребуется трем и более станкам из четырех}. Данное событие можно выразить с помощью более простых событий: {ремонт потребуется трем станкам из четырех} и {ремонт потребуется всем четырем станкам}. Так как эти события являются несовместными, то .

Пример 2[править]

Вероятность попадания в цель при каждом из 100 независимых выстрелов постоянна и равна . Найти вероятность того, что число попаданий в цель будет: а) 70; б) не менее 70 и не более 80.

Решение:

а) Необходимо найти вероятность . Применим локальную теорему Муавра – Лапласа: , , , . Тогда

Используя таблицу из приложения 1, получим: . Искомая вероятность равна .

б) Для нахождения искомой вероятности применим интегральную теорему Муавра – Лапласа, где , , , , . Найдем значения и :

:

.

Тогда искомая вероятность равна

(приложение 2).

Пример 3[править]

Микросхема электронного аппарата выходит из строя в течение часа работы с вероятностью . Найти вероятность того, что в течение 1000 часов работы придется менять микросхему пять раз.

Решение:

Так как число испытаний велико, а вероятность появления события «микросхема выходит из строя в течение часа работы» в одном испытании мала и равна , то можно использовать приближение Пуассона: , . Искомая вероятность равна

Упражнения[править]

1 Выберите верную формулу Бернулли при небольших значениях

2 В каком случае стоит использовать локальную теорему Муавра-Лапласа?

Если в схеме Бернулли велико, а каждый отдельный успех маловероятен
Если и в схеме Бернулли число испытаний велико, а вероятность
Если в схеме Бернулли число испытаний велико, а вероятность

3 Выберите верные свойства функций и ,где и - функция Лапласа