Теория вероятностей и математическая статистика/Точечные и интервальные оценки параметров распределения

Одной из основных задач математической статистики является задача оценки неизвестного параметра распределения генеральной совокупности по выборке.

Точечная оценка

Пусть изучается некоторый признак генеральной совокупности (случайная величина $X$). Параметром распределения $\theta$ случайной величины $X$ называется числовая характеристика этой случайной величины (математическое ожидание, дисперсия и т. д.). Требуется по выборке $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$, полученной в результате n наблюдений, оценить неизвестный параметр $\theta$.

Точечной оценкой параметра $\theta$ называется функция ${\tilde {\theta }}(x_{1},\ldots ,x_{n})$, построенная по выборке (ее также называют статистикой). Заметим, что оценка ${\tilde {\theta }}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ является случайной величиной.

Оценку называют несмещенной, если $\mathbf {M} {\tilde {\theta }}=\theta$. В противном случае оценку называют смещенной.

Пусть наблюдаются варианты $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}$ с частотами $n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}$ соответственно, $n$ — объем выборки.

Приведем некоторые точечные оценки параметров генеральной совокупности:

1. Выборочное среднее вычисляется по формуле ${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\displaystyle \sum _{i=1}^{k}n_{i}x_{i}$. Выборочное среднее является несмещенной оценкой математического ожидания исследуемого признака.
2. Выборочная дисперсия вычисляется по формуле $D={\frac {1}{n}}\displaystyle \sum _{i=1}^{k}n_{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}={\overline {x^{2}}}-({\bar {x}})^{2}$. Она является смещенной оценкой дисперсии исследуемого признака. Поэтому в качестве несмещенной оценки используют исправленную выборочную дисперсию $s^{2}={\frac {n}{n-1}}D={\frac {1}{n-1}}\displaystyle \sum _{i=1}^{k}n_{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}={\frac {1}{n-1}}\left(\displaystyle \sum _{i=1}^{k}n_{i}x_{i}^{2}-n({\bar {x}})^{2}\right)$

Интервальная оценка параметров генеральной совокупности

Интервал $({\tilde {\theta _{1}}},{\tilde {\theta _{2}}})$, покрывающий с вероятностью $\gamma$ истинное значение параметра $\theta$, называется доверительным интервалом, а вероятность $\gamma$ — доверительной вероятностью (или надежностью), т. е. $\mathbf {P} ({\tilde {\theta _{1}}}<{\tilde {\theta }}<{\tilde {\theta _{2}}})=\gamma$.

Для симметричного интервала $({\tilde {\theta }}-\varepsilon ,{\tilde {\theta }}+\varepsilon )\varepsilon >0$ называется точностью.

Доверительные интервалы для оценки математического ожидания   a   нормального распределения

Пусть исследуемый признак генеральной совокупности распределен нормально.

1. Интервальной оценкой с надежностью $\gamma$ математического ожидания $a$ нормально распределенного количественного признака по выборочному среднему значению при известном среднем квадратическом отклонении $\sigma$ генеральной совокупности служит доверительный интервал ${\bar {x}}-{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}t<a<{\bar {x}}+{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}t$, где $t$ удовлетворяет уравнению $\Phi (t)={\frac {\gamma }{2}}$. Значение $t$ находится из таблицы приложения 2.
2. При неизвестном среднем квадратическом отклонении $\sigma$ используют интервал ${\bar {x}}-{\frac {s}{\sqrt {n}}}t_{\alpha ,n-1}<a<{\bar {x}}+{\frac {s}{\sqrt {n}}}t_{\alpha ,n-1}$, где $s$ — исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, $t_{\alpha ,n-1}$ находится из таблицы приложения 3 по данным $\alpha$ и $n$, $\alpha =1-\gamma$.

Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения σ нормального распределения

Интервальной оценкой с надежностью $\gamma$ среднего квадратического отклонения $\sigma$ нормально распределенного количественного признака по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению $s$ генеральной совокупности служит доверительный интервал $s(1-q)<\sigma <s(1+q)$, $q<1$; $0<\sigma <s(1+q)$, $q>1$, где значение $q=q_{\gamma ,n}$ находится из таблицы приложения приложения 4 по данным $\gamma$ и $n$.

Примеры

Пример 1

В результате шести измерений некоторой физической величины одним прибором получены следующие результаты: 25; 23; 21; 26; 22; 23.

1. Найти несмещенные оценки генерального среднего и генеральной дисперсии измерений.
2. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально. Найти границы, в которых с вероятностью $\gamma =0.95$ заключено среднее значение измерений, если:
   1. среднее квадратическое отклонение случайных ошибок измерения (точность прибора) равно 2;
   2. среднее квадратическое отклонение случайных ошибок измерения неизвестно.

Решение:

1. Несмещенной оценкой генерального среднего является ${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\displaystyle \sum _{i=1}^{k}n_{i}x_{i}={\frac {1}{6}}(25+23+21+26+22+23)=23.333$.

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является $s^{2}={\frac {n}{n-1}}D={\frac {1}{n-1}}\displaystyle \sum _{i=1}^{k}n_{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}=$${\frac {1}{5}}((25-23.333)^{2}+(23-23.333)^{2}+(21-23.333)^{2}+(26-23.333)^{2}+(22-23.333)^{2}+(23-23.333)^{2}))=$$17.333/5=3.467$

2. Найдем интервальные оценки для генерального среднего.

2.1. Среднее квадратическое отклонение равно $\sigma =2$. Следовательно, доверительный интервал для среднего значения признака $a$ имеет вид ${\bar {x}}-{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}t<a<{\bar {x}}+{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}t$, где $t$ определяется из уравнения $\Phi (t)={\frac {\gamma }{2}}$.

Получим $\Phi (t)={\frac {0.95}{2}}=0.475$. Из таблицы приложения 2 находим, что $t=1.96$ и $23.333-{\frac {2}{\sqrt {6}}}1.96<a<23.333+{\frac {2}{\sqrt {6}}}1.96$ или $21.732<a<24.933$.

2.2. Доверительным интервалом для среднего значения признака $a$ при неизвестном среднем квадратическом отклонении служит интервал ${\bar {x}}-{\frac {s}{sqrt{n}}}t_{\gamma ,n-1}<a<{\bar {x}}+{\frac {s}{sqrt{n}}}t_{\gamma ,n-1}$.

Здесь ${\bar {x}}=23.333$, $s={\sqrt {s^{2}}}={\sqrt {3.467}}=1.862$, $\alpha =1-\gamma -0.05$. Значение $t_{\alpha ,n-1}$ находится из таблицы приложения 3, $t_{\alpha ,n-1}=t_{0.05,5}=2.57$.

Получим доверительный интервал $23,333-{\frac {1.862\cdot 2.57}{\sqrt {6}}}<a<$ 23,333 + \frac{1.862 \cdot 2.57}{\sqrt{6}}или $21.379<a<25.287$.

Упражнения

1 При каком условии оценку называют несмещенной?

	$\mathbf {M} \theta ={\tilde {\theta }}$
	$\mathbf {M} {\tilde {\theta }}=\theta$
	$\mathbf {M} \theta =\theta$

2 По какой формуле вычисляется выборочное среднее?

	${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\displaystyle \sum _{i=1}^{k}n_{i}x_{i}$
	${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\displaystyle \sum _{i=1}^{k}nx_{i}$
	${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\displaystyle \sum _{i=1}^{k}n_{k}x_{i}$