Уравнения первого порядка

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

- общий вид дифференциального уравнения первого порядка. Поскольку ДУ первого порядка - частный случай уравнения n-ого порядка, определения общего решения, интеграла ДУ см. в разделе определений следующей главы

ДУ первого порядка, интегрируемые в квадратурах[править]

, - задана в и непрерывна в . Пусть

Определение. Функция , заданная на называется решение ДУ , если она обладает следующими свойствами:


Если задачу об отыскании решений дифференциального уравнения удаётся свести к конечному числу алгебраических операций, операций дифференцирования и интегрирования известных функций, то говорят, что дифференциальное уравнение интегрируется в квадратурах.

Уравнения в полных дифференциалах. Линейные уравнения.[править]

Определение. Уравнение (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если существует непрерывно дифференцируемая (или просто дифференцируемая??[источник?]) в области функция такая, что , . Тогда общий интеграл такого уравнения имеет вид: .


Теорема. Пусть функции заданные в окрестности точки и непрерывны. Тогда уравнение (1) является уравнением в полных дифференциалах в .
Доказательство. Необходимость: Пусть (1) - уравнение в полных дифференциалах дифференцируемая функция .

. Смешанные производные совпадают

Достаточность. Предположим, что . .


Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения[править]

Уравнения вида называется уравнением с разделёнными переменными. Это частный случай уравнения в полных дифференциалах: ,

Уравнения вида - уравнения с разделяющимися переменными. Они сводятся к уравнениям с разделёнными переменными: , также возможны решения вида , если и , если .

Уравнения вида (1), где функции M и N такие, что: , называются однородными. n - степень однородности.

Линейные уравнения[править]

Линейными диф. уравнениями 1-го порядка называются уравнения вида , где и - непрерывные функции заданные на промежутке.

Рассмотрим однородное уравнение: .

Решение: , с - произвольная константа. Решение неоднородного уравнения получается методом вариации постоянной:

Уравнения Бернулли и Риккати[править]

, Разделим уравнение на :

.

. Обозначим: .

.

.

- также является решением.

- уравнение Риккати.

Пусть - частное решение, . Тогда

Выделенные слагаемые равны нулю так как - решение

- уравнение Бернулли при .