Определение. Область называется односвязной, если связна.
Теорема. (Коши) односвязная область, . Тогда – замкнутой спрямляемой кривой – .
Доказательство. Разобьём доказательство на три части:
1) Лемма Гурса. , где треугольный контур в .
2) , где Г произвольная замкнутая ломаная в
3), где Г произвольная замкнутая спрямляемая кривая в
1) Пусть .
Разобьём наш контур на 4 части,как показано на рисунке:
Тогда , так как внутренние перемычки в треугольнике проходятся в противоположных направлениях, следовательно, сумма интегралов по ним равна нулю.
(иначе )
Выбираем и разбиваем его на 4 части точно так же, как , и выбираем из этого разбиения такой .
Продолжая процесс, получаем .
Пусть и так далее. Тогда
: так как у нас последовательность вложенных треугольников, и их периметр стремится к нулю, то в пересечении у них только точка .
(при )
Интегралы равны нулю.
(по свойству 5)
Мы получили, что , значит, . Так как мы выбирали произвольно, то можно сделать его сколь угодно малым, значит, , что и требовалось доказать.
2а) Пусть Г выпуклая замкнутая ломаная:
(по пункту 1)
2б) Пусть Г произвольная замкнутая ломаная:
Примем без доказательства, что , где выпуклые замкнутые ломаные. Тогда
3) Возьмём открытое множество . По теореме Кантора, функция, непрерывная на компакте , равномерно непрерывна на нём:
Возьмём такую замкнутую ломаную , вписанную в Г, чтобы и чтобы ( вершины ломаной, ). Для этого достаточно,чтобы .
(так как )
Так как и
Isbur (обсуждение) 00:39, 26 марта 2019 (UTC)