Изолированные особые точки однозначного характера, их классификация в терминах рядов Лорана. Теорема Римана об устранимой особой точке. Теорема Сохоцкого. Бесконечность как изолированная особая точка.
[править]
Теорема. (Классификация изолированных особых точек)
Изолированная особая точка называется:
1) Устранимой'', если , либо если
2) Полюсом -го порядка'', если , либо если
3) Существенно особой'', если , либо если
Доказательство.
1) . Тогда
2) . Тогда ограничена в некоторой окрестности точки
Пусть в ряде Лорана присутствуют члены с отрицательными степенями , тогда, по неравенству Коши, .
Устремим к нулю, тогда (так как ). Значит, , следовательно,все при
3) , где . Посчитаем предел
4)
Для точка устранимая в , причём , так как , то есть , где
Здесь ряд Тейлора для функции в
По теореме единственности, для ряда Лорана исходный ряд для функции тоже начинается с члена со степенью .
Эквивалентность утверждений в третьем подпункте доказывать не надо, так как мы исчерпали все возможные случаи, кроме и ; значит, эти случаи эквивалентны.
Теорема. (Риман; об особой устранимой точке) – устранимая для ограничена в .
Доказательство. ) устранимая для ограничена в некоторой проколотой окрестности
) ( такое,что ограничена в )
Если и если , то . Значит, все при равны нулю. Следовательно:
Замечание. В этой теореме вместо ограниченности можно разрешить небольшой рост вблизи , главное, чтобы при .
Теорема. (Сохоцкий) существенно особая для
Доказательство. ) существенно особая для
) 1)
Докажем от противного.
Пусть
Следовательно, в , значит, устранимая для (по теореме Римана)
Это означает,что
Получаем противоречие с тем,что существенно особая.
2)
Пусть
Значит, по теореме Римана, устранимая для – противоречие с тем, что существенно особая.
как изолированная особая точка
[править]
Определение. изолированная особая точка однозначного характера для , если для некоторого .
Определение. называется устранимой (полюсом,существенно особой) для ,если 0 является устранимой (полюсом, существенно особой) для . Так как , то в этой области раскладывается в ряд Лорана .
для
|
для
|
Ряд Лорана для
|
Ряд Лорана для
|
устранимая
|
устранимая
|
|
|
полюс -го порядка
|
полюс -го порядка
|
|
|
существенно особая
|
существенно особая
|
|
|
Isbur (обсуждение) 16:07, 26 марта 2019 (UTC)