13. Ряды Лорана, их область сходимости. Разложение функции, голоморфной в кольце, в ряд Лорана. Формулы для коэффициентов.

Теорема. $f \in O (r < | z - a | < R) \Rightarrow f (z) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} C_{n} (z - a)^{n}$

$C_{n} = \frac{1}{2 π i} \int_{| z - a | = ρ} \frac{f (z)}{(z - a)^{n + 1}} d z$

$ρ$ любое число такое, что $r < ρ < R, n = 0, \pm 1, \dots$

Доказательство. $z : r < | z - a | < R \Rightarrow \exists ε > 0 r + ε < | z - a | < R - ε$

$f (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{| z - a | = R - ε} \frac{f (ξ)}{(ξ - z)^{n + 1}} d ξ - \frac{1}{2 π i} \int_{| z - a | = r + ε} \frac{f (ξ)}{(ξ - z)^{n + 1}} d ξ$ (по интегральной формуле Коши)

1) $| ξ - a | = R - ε : \frac{1}{ξ - z} = \frac{1}{ξ - a - (z - a)} = \frac{1}{ξ - a} \frac{1}{1 - \frac{z - a}{ξ - a}}$

Второй множитель можно рассматривать как сумму бесконечной геометрической прогрессии:

$\frac{1}{ξ - a} \frac{1}{1 - \frac{z - a}{ξ - a}} = \frac{1}{ξ - a} \sum_{n = 0}^{+ \infty} {(\frac{z - a}{ξ - a})}^{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{(z - a)^{n}}{(ξ - a)^{n + 1}}$

2) $| ξ - a | = r + ε : \frac{1}{ξ - z} = - \frac{1}{z - a - (ξ - a)} = - \frac{1}{z - a} \frac{1}{1 - \frac{ξ - a}{z - a}}$

Здесь второй множитель также можно рассматривать как сумму бесконечной геометрической прогрессии:

$- \frac{1}{z - a} \frac{1}{1 - \frac{ξ - a}{Z - a}} = - \frac{1}{z - a} \sum_{n = 0}^{+ \infty} {(\frac{ξ - a}{z - a})}^{n} = - \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{(ξ - a)^{n}}{(z - a)^{n + 1}}$

$\frac{1}{2 π i} \int_{| z - a | = R - ε} \frac{f (ξ)}{(ξ - z)^{n + 1}} d ξ - \frac{1}{2 π i} \int_{| z - a | = r + ε} \frac{f (ξ)}{(ξ - z)^{n + 1}} d ξ = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (\frac{1}{2 π i} \int_{| z - a | = R - ε} \frac{f (ξ)}{(ξ - a)^{n + 1}} d ξ) (z - a)^{n} +$

$+ \sum_{n = 0}^{+ \infty} (\frac{1}{2 π i} \int_{| z - a | = r + ε} f (ξ) (ξ - a)^{n} d ξ) \frac{1}{(z - a)^{n + 1}}$

В первом интеграле вместо $R - ε$ и во втором вместо $r + ε$ можно взять любое число $ρ : r < ρ < R$ , так как интеграл по замкнутой кривой внутри окружности равен интегралу по окружности, значит

$f (z) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (\frac{1}{2 π i} \int_{| z - a | = ρ} \frac{f (ξ)}{(ξ - a)^{n + 1}} d ξ) (z - a)^{n} + \sum_{n = - \infty}^{- 1} (\frac{1}{2 π i} \int_{| z - a | = ρ} \frac{f (ξ)}{(ξ - a)^{n + 1}} d ξ) (z - a)^{n} =$

$= \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} (\frac{1}{2 π i} \int_{| z - a | = ρ} \frac{f (ξ)}{(ξ - a)^{n + 1}} d ξ) (z - a)^{n}$

Замечание. Ряд Лорана сходится к $f (z)$ равномерно внутри кольца $r < | z - a | < R$ .

Неравенства Коши для коэффициентов Лорана. $| C_{n} | \leq \frac{max_{| z - a | = ρ} | f (z) |}{ρ^{2}}, r < ρ < R$

Теорема. (свойства рядов Лорана)

1) ряд Лорана сходится в кольце $r < | z - a | < R$ , где $r = lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{| C_{- n} |}$ , $R = \frac{1}{lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{| C_{n} |}}$ . Вне этого кольца ряд расходится. Если $r > R$ то ряд не сходится вообще нигде

2) сумма ряда Лорана в кольце из пункта 1 голоморфная функция

3) $C_{n} = \frac{1}{2 π i} \int_{| z - a | = ρ} \frac{f (ξ)}{(ξ - a)^{n + 1}} d ξ, n \in ℤ$ , то есть наш ряд это ряд Лорана для $f (z)$ .

Доказательство.

1) $\sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_{n} (z - a)^{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} C_{n} (z - a)^{n} + \sum_{n = - \infty}^{- 1} C_{n} (z - a)^{n}$ – первая часть называется правильной частью ряда Лорана, вторая главной частью ряда Лорана. Посмотрим, где сходятся по отдельности главная и правильная части.

Главная часть:

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} C_{n} (z - a)^{n}$ сходится при $| z - a | < R = \frac{1}{lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{| C_{n} |}}$

Правильная часть:

$\sum_{n = - \infty}^{- 1} C_{n} (z - a)^{n} = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{C_{- n}}{(z - a)^{n}}$ сходится при $| \frac{1}{z - a} | < \frac{1}{lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{| C_{- n} |}}$ $\Leftrightarrow | z - a | > r = lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{| C_{- n} |}$

Получается, что ряд Лорана сходится в кольце $r = lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{| C_{- n} |} < | z - a | < \frac{1}{lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{| C_{n} |}} = R$ . Если $r > R$ , то области сходимости главной части (внешность круга радиусом $r$ с центром в $a$ ) и правильной части (внутренность круга радиусом $R$ с центром в $a$ ) не пересекаются. Значит, ряд Лорана нигде не сходится.

2) правильная часть сходится равномерно внутри круга $| z - a | < R$ ;

главная часть сходится равномерно внутри $| z - a | > r$

Значит, наш ряд сходится равномерно внутри кольца $r < | z - a | < R$ $\Rightarrow$ , по следствию из теоремы Вейерштрасса, сумма рядов голоморфна внутри кольца $r < | z - b | < R$ .

3) $\frac{1}{2 π i} \int_{| z - a | = ρ} \frac{f (ξ)}{(ξ - a)^{n + 1}} d ξ = \frac{1}{2 π i} \int_{| z - a | = ρ} \frac{\sum_{k = - \infty}^{+ \infty} C_{k} (ξ - a)^{k}}{(ξ - a)^{n + 1}} d ξ = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \frac{C_{k}}{2 π i} \int_{| z - a | = ρ} (ξ - a)^{k - n - 1} d ξ$

Сделаем замену переменной $ξ = a + ρ e^{i φ}, φ \in [0, 2 π]$ , $⊐ v = k - n - 1$

$\sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \frac{C_{k}}{2 π i} \int_{| z - a | = ρ} (ξ - a)^{v} d ξ = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \frac{C_{k}}{2 π i} \int_{0}^{2 π} ρ^{v} e^{i v φ} i ρ e^{i φ} d φ = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \frac{C_{k} ρ^{v + 1}}{2 π} \int_{0}^{2 π} e^{i (v + 1) φ} d φ$

$\frac{C_{k} ρ^{v + 1}}{2 π} \int_{0}^{2 π} e^{i (v + 1) φ} d φ = {\begin{matrix} C_{k}, v = - 1 \\ 0, v \neq - 1 \end{matrix}$

$\sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \frac{C_{k} ρ^{v + 1}}{2 π} \int_{0}^{2 π} e^{i (v + 1) φ} d φ = C_{k}$

Следствие. (из пункта 3) Если $f (z) \in O (r < | z - a | < R)$ , то коэффициенты её ряда Лорана определяются единственным образом.

Isbur (обсуждение) 16:06, 26 марта 2019 (UTC)