Теорема. (Лиувилль) (такие функции называются целыми'') и . Тогда .
Доказательство. , ряд сходится в . Возьмём круг радиусом с центром в 0, тогда (по неравенству Коши) для коэфиициентов степенного ряда , так как функция на , а, следовательно, и на нашем круге, ограничена числом . При и при , значит, при и от нашего ряда Тейлора остаётся всего лишь свободный член, то есть константа: .
Теорема. (о среднем)
Доказательство. 1) По интегральной формуле Коши .
Сделаем замену :
2) В интеграле делаем полярную замену:
Из первого пункта получаем, что
Подставим в наш интеграл:
Теорема. (единственности) область в , , множество имеет предельную точку в . Тогда .
Доказательство. предельная точка для ,
ряд Тейлора для в ( открытый шар)
, где (по свойству степенных рядов)
(так как )
– противоречие; значит, в ряде Тейлора нет ненулевых членов, следовательно:
ломаная с началом в и концом в , а также набор кругов , ( радиус кругов, центры кругов)
Остался один вопрос: почему существует такая последовательность . Докажем её существание. Возьмём , и, так как , то и
будем выбирать так: , а остальные выберем так, чтобы . Тогда последовательность как раз нам подходит, так как изза неравенства .
Теорема. (принцип максимума модуля): область в , .
Доказательство. Разложим в ряд Тейлора в :
Рассмотрим два случая:
1)
2) , где первый ненулевой коэффициент, а функция ; открытый шар с центром в .
, то есть направление
и
(верно при малых )
Если , то
Получили, что найдётся точка, в которой модуль функции больше, чем в точке , противоречие. Значит, что по теореме единственности
Следствие 1. (локальный принцип максимума модуля) область в ,
Следствие 2. (принцип минимума модуля) область в ,
Доказательство. (из принципа единственности)
Следствие 3. ограниченная область в , .
Следствие 4. (граничная теорема единственности): ограниченная область в ,
Isbur (обсуждение) 00:41, 26 марта 2019 (UTC)