Перейти к содержанию

Участник:Isbur/Некоторые задачи аналитической механики

Материал из Викиверситета

http://www.theormech.math.msu.su/Obuchenie/index.htm - здесь представлен задачник Т.В. Сальниковой и К.Е. Якимовой по курсу аналитической механики.

Глава 1

[править]

Глава 2

[править]

Глава 3

[править]

Задача 3.1

[править]

Условие

[править]

Маятник состоит из жёсткого стержня длиной 𝑙, несущего массу 𝑚 на своём конце. К стержню прикреплены две пружины жёсткости 𝑐 на расстоянии 𝑎 от его

верхнего конца; противоположные концы пружин закреплены. Пренебрегая массой стержня, найти период малых колебаний маятника.

Решение

[править]



- удлинение пружины









Ответ:

Задача 3.2

[править]

Условие

[править]

Предполагая, что маятник, описанный в предыдущей задаче, установлен так,что масса 𝑚 расположена выше точки подвеса, определить условие, при котором вертикальное положение равновесия маятника устойчиво, и вычислить период малых колебаний маятника.

Решение

[править]

(против в предыдущей задаче)




Ответ:

Задача 3.3

[править]

Условие

[править]

Цилиндр диаметром d и массой т может катиться без скольжения по горизонтальной плоскости. Две одинаковые пружины жёсткости с прикреплены посередине его длины на расстоянии а от оси цилиндра; противоположные концы пружин закреплены. Определить период малых колебаний цилиндра.

Решение

[править]

Ответ

[править]

Задача 3.4

[править]

Условие

[править]

Неоднородный диск радиуса R и массы М, центр масс С которого расположен на расстоянии а от его геометрического центра О, может катиться без проскальзывания по горизонтальной направляющей. Момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр масс равен J. Найти малые колебания системы около устойчивого положения равновесия.

Решение

[править]

Задача 3.6

[править]

Условие

[править]


Определить период малых колебаний однородного полудиска радиуса R, находящегося на негладкой горизонтальной плоскости, по которой он может катиться без скольжения.

Решение

[править]
Ищем центр масс
[править]

Моменты инерции
[править]

Энергии
[править]

Задача 3.8

[править]

Условие

[править]

Три нити связаны в точке С: две из них перекинуты через небольшие неподвижные блоки А и В, расположенные на одной горизонтали, и несут на концах равные грузы m1; к концу третьей нити подвешен груз с массой m2, причём m2 < 2m1. Найти период малых колебаний этой системы около положения равновесия, если СА = СВ = а, считая, что грузы могут двигаться только по вертикали.

Решение

[править]

- устойчивое положение равновесия;

- неустойчивое.

Задача 3.9

[править]

Условие

[править]

Уголок, составленный из тонких однородных стержней длин l и 2l с углом , может вращаться вокруг точки О. Определить период малых колебаний системы около положения равновесия.

Решение

[править]

Задача 3.14

[править]

Условие

[править]

Найти период малых колебаний около устойчивого положения равновесия тяжёлого однородного стержня ОА длины I и массы т, который может свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О и к концу А которого прикреплена пружина АВ. Пружина закреплена в точке В, расположенной на расстоянии I над точкой О. Длина нерастянутой пружины I, коэффициент её жёсткости с.

Решение

[править]


Другой случай:



Задача 3.16

[править]

Условие

[править]

Тяжёлая квадратная платформа ABCD массы М подвешена на четырёх упругих канатах, жёсткости с каждый, к неподвижной точке О, отстоящей в положении равновесия системы на расстоянии I по вертикали от центра Е платформы. Длина диагонали платформы а. Определить период вертикальных колебаний системы (точки А, В, С, D перемещаются только вертикально).

Решение

[править]


Задача 3.21

[править]

Условие

[править]

Точки подвеса двух одинаковых математических маятников с массой т и длиной I расположены на одной горизонтальной прямой. Точки этих маятников, отстоящие от точек подвеса на расстоянии h (0 < h < /), соединены между собой пружиной жёсткости с; пружина не натянута, когда маятники занимают вертикальное положение. Найти малые колебания системы в вертикальной плоскости, проходящей через точки подвеса маятников, если в начальный момент один из них отклонён от вертикали на угол а, а начальные скорости равны нулю.

Решение

[править]


Задача 3.27

[править]

Условие

[править]

Два груза массы т каждый, соединённые между собой пружиной жёсткости с, а с неподвижными стенками пружинами жёсткости 2с каждая, могут скользить по гладкой горизонтальной направляющей. К каждому грузу подвешен математический маятник массы и длины l. Найти малые колебания системы. При вычислениях положить .

Решение

[править]

Задача 3.28

[править]

Условие

[править]

Двойной физический маятник состоит из однородного прямолинейного стержня длины 2а и массы т1, вращающегося вокруг неподвижной горизонтальной оси О1, и из однородного прямолинейного стержня АВ массы т2, шарнирно соединённого в своём центре масс с концом O2 первого стержня. Определить движение системы, если в начальный момент стержень О1O2 отклонён на угол φ0 от вертикали, а стержень АВ занимает вертикальное положение и имеет начальную угловую скорость ω0.

Решение

[править]




При

Задача 3.32

[править]

Условие

[править]

К бруску массы М, который может двигаться по гладкой горизонтальной направляющей, подвешен двойной маятник, причём

Найти малые колебания системы в окрестности стационарного движения, если при 𝑡 = 0

Решение

[править]




При и

Глава 4

[править]

Задача 4.1

[править]

Условие

[править]

По гладкой горизонтальной трубке, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, может двигаться точка массы m. 1) Найти общее решение канонических уравнений движения точки. 2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Получить решение методом Якоби. За обобщённую координату принять х — расстояние точки до оси вращения.

Решение

[править]

Задача 4.2

[править]

Условие

[править]

Гладкая трубка АВ вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси CD, составляя с ней неизменный угол . В трубке находится тяжёлый шарик массы т. 1) Решить задачу Коши для канонических уравнений движения шарика, если его начальная относительная скорость равна нулю и начальное расстояние от точки О равно а.

2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и найти решение канонических уравнений методом Якоби.

Решение

[править]

Задача 4.3

[править]

Условие

[править]

Шарик массы m, привязанный к нерастяжимой нити, скользит по гладкой горизонтальной плоскости; другой конец нити втягивают с постоянной скоростью а в отверстие, сделанное на плоскости. 1) Решить задачу Коши для канонических уравнений движения шарика, если в начальный момент нить расположена по прямой, расстояние между шариком и отверстием равно R, а проекция начальной скорости шарика на перпендикуляр к направлению нити равна ν0. 2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и общее решение канонических уравнений движения методом Якоби.

Решение

[править]

Задача 4.4

[править]

Условие

[править]

Точка массы т под действием собственного веса движется по циклоиде

,

расположенной в вертикальной плоскости. 1) Решить задачу Коши для канонических уравнений движения точки, если при t = 0 Θ = 0, v = v0 .В качестве обобщённой координаты взять дугу циклоиды s = . 2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и общее решение задачи методом Якоби.

Решение

[править]

Задача 4.5

[править]

Условие

[править]

Тяжёлая точка М массы т движется по поверхности круглого цилиндра радиуса r, ось которого вертикальна. 1) Решить задачу Коши для канонических уравнений движения точки, если её начальная скорость равна по величине v0 и составляет угол α с горизонтом. 2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и закон движения точки методом Якоби.

Решение

[править]

Задача 4.13

[править]

Условие

[править]

Два одинаковых шарика массы т, связанные между собой пружиной жёсткости с (длина пружины в недеформированном состоянии равна /), могут скользить без трения по трубке, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси. 1) Найти переменные у1, у2, в которых полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби нашёлся бы методом разделения переменных.

2) Найти полный интеграл и решение канонических уравнений Гамильтона методом Якоби.

Решение

[править]

Задача 4.24

[править]

Условие

[править]

Стержень вращается с постоянной угловой скоростью ω в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси (которая проходит через некоторую точку стержня). Найти общее решение канонических уравнений движения колечка массы m, насаженного на стержень

1) непосредственным интегрированием, и 2) методом Якоби; выписать полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби.

Решение

[править]

Интегрирование...

Задача 4.27

[править]

Условие

[править]

Материальная точка М массы т движется под действием двух ньютоновских сил притяжения, центры С1 и С2 которых расположены на неподвижной оси, расстояние между ними равно 2с. Найти интегралы канонических уравнений Гамильтона методом Якоби.

За обобщённые координаты принять угол поворота плоскости, определяемой точками М, С1 и С2 и эллиптические координаты в этой плоскости

где r1 = С1М, r2 = С2М.

Решение

[править]


Глава 5

[править]

Задача 5.1

[править]

Условие

[править]

Доказать свойства скобок Пуассона...

Решение

[править]
1.
[править]


2. Если , то
[править]


3.
[править]


4.
[править]

Задача 5.8

[править]

Решение

[править]

Это выражение равно , если , так как не зависят от ;

Если же , то в выражении выделится множитель из менее, чем множителей, которая по той же причине занулит всё выражение.