Участник:Isbur/Некоторые задачи аналитической механики

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

http://www.theormech.math.msu.su/Obuchenie/index.htm - здесь представлен задачник Т.В. Сальниковой и К.Е. Якимовой по курсу аналитической механики.

Глава 1[править]

Глава 2[править]

Глава 3[править]

Задача 3.1[править]

Условие[править]

Маятник состоит из жёсткого стержня длиной 𝑙, несущего массу 𝑚 на своём конце. К стержню прикреплены две пружины жёсткости 𝑐 на расстоянии 𝑎 от его

верхнего конца; противоположные концы пружин закреплены. Пренебрегая массой стержня, найти период малых колебаний маятника.

Решение[править]

Spring-pendulum3.1.2.svg



- удлинение пружины









Ответ:

Задача 3.2[править]

Условие[править]

Предполагая, что маятник, описанный в предыдущей задаче, установлен так,что масса 𝑚 расположена выше точки подвеса, определить условие, при котором вертикальное положение равновесия маятника устойчиво, и вычислить период малых колебаний маятника.

Решение[править]

(против в предыдущей задаче)




Ответ:

Задача 3.3[править]

Условие[править]

Изображение3.3salnikovaRastrized.png

Цилиндр диаметром d и массой т может катиться без скольжения по горизонтальной плоскости. Две одинаковые пружины жёсткости с прикреплены посередине его длины на расстоянии а от оси цилиндра; противоположные концы пружин закреплены. Определить период малых колебаний цилиндра.

Решение[править]

Ответ[править]

Задача 3.4[править]

Условие[править]

Изображение3.4salmikova.png

Неоднородный диск радиуса R и массы М, центр масс С которого расположен на расстоянии а от его геометрического центра О, может катиться без проскальзывания по горизонтальной направляющей. Момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр масс равен J. Найти малые колебания системы около устойчивого положения равновесия.

Решение[править]

Задача 3.6[править]

Условие[править]

Изображение3.6czech1salnikova.png


Определить период малых колебаний однородного полудиска радиуса R, находящегося на негладкой горизонтальной плоскости, по которой он может катиться без скольжения.

Решение[править]

Ищем центр масс[править]
Изображение3.6.1salnikova.png

Моменты инерции[править]

Энергии[править]
Изображение3.6czech2salnikova.png

Задача 3.8[править]

Условие[править]

Изображение3.8saln.png

Три нити связаны в точке С: две из них перекинуты через небольшие неподвижные блоки А и В, расположенные на одной горизонтали, и несут на концах равные грузы m1; к концу третьей нити подвешен груз с массой m2, причём m2 < 2m1. Найти период малых колебаний этой системы около положения равновесия, если СА = СВ = а, считая, что грузы могут двигаться только по вертикали.

Решение[править]

- устойчивое положение равновесия;

- неустойчивое.

Задача 3.9[править]

Условие[править]

Уголок, составленный из тонких однородных стержней длин l и 2l с углом , может вращаться вокруг точки О. Определить период малых колебаний системы около положения равновесия.

Решение[править]

Изображение3.9saln.png

Задача 3.14[править]

Условие[править]

Изображение3.14-2salnikova.png

Найти период малых колебаний около устойчивого положения равновесия тяжёлого однородного стержня ОА длины I и массы т, который может свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О и к концу А которого прикреплена пружина АВ. Пружина закреплена в точке В, расположенной на расстоянии I над точкой О. Длина нерастянутой пружины I, коэффициент её жёсткости с.

Решение[править]


Другой случай:



Задача 3.16[править]

Условие[править]

Изображение3.16-2salnikova.png

Тяжёлая квадратная платформа ABCD массы М подвешена на четырёх упругих канатах, жёсткости с каждый, к неподвижной точке О, отстоящей в положении равновесия системы на расстоянии I по вертикали от центра Е платформы. Длина диагонали платформы а. Определить период вертикальных колебаний системы (точки А, В, С, D перемещаются только вертикально).

Решение[править]


Задача 3.21[править]

Условие[править]

Изображение3.21сало.png

Точки подвеса двух одинаковых математических маятников с массой т и длиной I расположены на одной горизонтальной прямой. Точки этих маятников, отстоящие от точек подвеса на расстоянии h (0 < h < /), соединены между собой пружиной жёсткости с; пружина не натянута, когда маятники занимают вертикальное положение. Найти малые колебания системы в вертикальной плоскости, проходящей через точки подвеса маятников, если в начальный момент один из них отклонён от вертикали на угол а, а начальные скорости равны нулю.

Решение[править]

Изображение3.212сало.png


Задача 3.27[править]

Условие[править]

Изображение3.27-2salnikova.png

Два груза массы т каждый, соединённые между собой пружиной жёсткости с, а с неподвижными стенками пружинами жёсткости 2с каждая, могут скользить по гладкой горизонтальной направляющей. К каждому грузу подвешен математический маятник массы и длины l. Найти малые колебания системы. При вычислениях положить .

Решение[править]

Задача 3.28[править]

Условие[править]

Изображение3.28-2salnikova.png

Двойной физический маятник состоит из однородного прямолинейного стержня длины 2а и массы т1, вращающегося вокруг неподвижной горизонтальной оси О1, и из однородного прямолинейного стержня АВ массы т2, шарнирно соединённого в своём центре масс с концом O2 первого стержня. Определить движение системы, если в начальный момент стержень О1O2 отклонён на угол φ0 от вертикали, а стержень АВ занимает вертикальное положение и имеет начальную угловую скорость ω0.

Решение[править]




При

Задача 3.32[править]

Условие[править]

Изображение3.32salnikova.png

К бруску массы М, который может двигаться по гладкой горизонтальной направляющей, подвешен двойной маятник, причём

Найти малые колебания системы в окрестности стационарного движения, если при 𝑡 = 0

Решение[править]




При и

Глава 4[править]

Задача 4.1[править]

Условие[править]

Изображение4.1saln.png

По гладкой горизонтальной трубке, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, может двигаться точка массы m. 1) Найти общее решение канонических уравнений движения точки. 2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Получить решение методом Якоби. За обобщённую координату принять х — расстояние точки до оси вращения.

Решение[править]

Задача 4.2[править]

Условие[править]

Изображение4.2-2salnikova.png

Гладкая трубка АВ вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси CD, составляя с ней неизменный угол . В трубке находится тяжёлый шарик массы т. 1) Решить задачу Коши для канонических уравнений движения шарика, если его начальная относительная скорость равна нулю и начальное расстояние от точки О равно а.

2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и найти решение канонических уравнений методом Якоби.

Решение[править]

Задача 4.3[править]

Условие[править]

Шарик массы m, привязанный к нерастяжимой нити, скользит по гладкой горизонтальной плоскости; другой конец нити втягивают с постоянной скоростью а в отверстие, сделанное на плоскости. 1) Решить задачу Коши для канонических уравнений движения шарика, если в начальный момент нить расположена по прямой, расстояние между шариком и отверстием равно R, а проекция начальной скорости шарика на перпендикуляр к направлению нити равна ν0. 2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и общее решение канонических уравнений движения методом Якоби.

Решение[править]

Задача 4.4[править]

Условие[править]

Изображение4.4-2salnikova.png

Точка массы т под действием собственного веса движется по циклоиде

,

расположенной в вертикальной плоскости. 1) Решить задачу Коши для канонических уравнений движения точки, если при t = 0 Θ = 0, v = v0 .В качестве обобщённой координаты взять дугу циклоиды s = . 2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и общее решение задачи методом Якоби.

Решение[править]

Задача 4.5[править]

Условие[править]

Изображение4.5.2salnikova.png

Тяжёлая точка М массы т движется по поверхности круглого цилиндра радиуса r, ось которого вертикальна. 1) Решить задачу Коши для канонических уравнений движения точки, если её начальная скорость равна по величине v0 и составляет угол α с горизонтом. 2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и закон движения точки методом Якоби.

Решение[править]

Задача 4.13[править]

Условие[править]

Изображение4.13salnikova.png

Два одинаковых шарика массы т, связанные между собой пружиной жёсткости с (длина пружины в недеформированном состоянии равна /), могут скользить без трения по трубке, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси. 1) Найти переменные у1, у2, в которых полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби нашёлся бы методом разделения переменных.

2) Найти полный интеграл и решение канонических уравнений Гамильтона методом Якоби.

Решение[править]