Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Билеты/Метрика, норма, скалярное произведение

Метрические, нормированные и евклидовы пространства. Пространства ${\textstyle l^{2}}$ и ${\textstyle C[a,b]}$.

Определение. Метрикой на множестве ${\textstyle X}$ называется функция ${\textstyle d:X\times X\rightarrow [0,+\infty )}$, удовлетворяющая следующим условиям:

1) ${\textstyle d(x,y)=0}$ в точности тогда, когда ${\textstyle x=y}$

2) ${\textstyle d(x,y)=d(y,x)}$ для всex ${\textstyle x,y\in X}$

3) ${\textstyle d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)}$ для всex ${\textstyle x,y,z\in X}$.

Множество с заданной на нём метрикой называют метрическим пространством.

Определение. Нормированным пространством называется линейное пространство ${\textstyle X}$ над полем вещественных или комплексных чисел с заданной на, нем, функцией ${\textstyle ||\cdot ||:X\rightarrow [0,+\infty )}$, называемой нормой и удовлетворяющей следующим условиям:

(i) ${\textstyle ||x||=0}$ лишь при ${\textstyle x=0}$,

(ii) ${\textstyle ||ax||=|a|||x||}$ для всex ${\textstyle x\in X}$ и всех скаляров ${\textstyle a}$,

(iii) (неравенство треугольника) ${\textstyle ||x+y||\leqslant ||x|+||y||}$ для всех векторов ${\textstyle x,y\in X}$.

Из условий (i) и (iii) следует, что всякое нормированное пространство оказывается метрическим пространством, если в качестве расстояния между ${\textstyle x}$ и ${\textstyle y}$ взять ${\textstyle ||x-y||}$.

Определение. Евклидовым пространством называется вещественное или комплексное линейное пространство ${\textstyle X}$ с заданным скалярным произведением, т. е. функцией ${\textstyle (\cdot ,\cdot )}$ на ${\textstyle X\times X}$ со значениями в соответствующем поле скаляров, удовлетворяющей следующим условиям:

(i) ${\textstyle (x,x)\geqslant 0}$, причем ${\textstyle (x,x)=0}$ лишь при ${\textstyle x=0}$,

(ii) ${\textstyle (x,y)={\overline {(y,x)}}}$ для всex ${\textstyle x,y\in X}$ (в вещественном случае это значит, что ${\textstyle (x,y)=(y,x)}$),

(iii) ${\textstyle (\alpha x+\beta y,z)=\alpha (x,z)+\beta (y,z)}$ для всex ${\textstyle x,y,z\in X}$ и всех скаляров ${\textstyle \alpha }$, ${\textstyle \beta }$.

Если ${\textstyle (a,b)=0}$, то пишym ${\textstyle a\perp b}$ и называют векторы ${\textstyle a}$ и ${\textstyle b}$ взаимно ортогональными.

Определение. ${\textstyle l^{2}}$ – это ${\textstyle \{x=\{x_{n}\}:\sum |x_{n}|^{2}<\infty \}}$

${\textstyle (x,y)=\sum _{n}x_{n}y_{n}}$

${\textstyle ||x||={\sqrt {\sum x_{n}^{2}}}}$