Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Билеты/Метрика, норма, скалярное произведение

Метрические, нормированные и евклидовы пространства. Пространства $l^2$ и $C[a,b]$.

Определение. Метрикой на множестве $X$ называется функция $d:X\times X\to [0,+\mathrm{\infty })$, удовлетворяющая следующим условиям:

1) $d(x,y)=0$ в точности тогда, когда $x=y$

2) $d(x,y)=d(y,x)$ для всex $x,y\in X$

3) $d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z)$ для всex $x,y,z\in X$.

Множество с заданной на нём метрикой называют метрическим пространством.

Определение. Нормированным пространством называется линейное пространство $X$ над полем вещественных или комплексных чисел с заданной на, нем, функцией $||\cdot ||:X\to [0,+\mathrm{\infty })$, называемой нормой и удовлетворяющей следующим условиям:

(i) $||x||=0$ лишь при $x=0$,

(ii) $||ax||=|a|||x||$ для всex $x\in X$ и всех скаляров $a$,

(iii) (неравенство треугольника) $||x+y||⩽||x|+||y||$ для всех векторов $x,y\in X$.

Из условий (i) и (iii) следует, что всякое нормированное пространство оказывается метрическим пространством, если в качестве расстояния между $x$ и $y$ взять $||x-y||$.

Определение. Евклидовым пространством называется вещественное или комплексное линейное пространство $X$ с заданным скалярным произведением, т. е. функцией $(\cdot ,\cdot )$ на $X\times X$ со значениями в соответствующем поле скаляров, удовлетворяющей следующим условиям:

(i) $(x,x)⩾0$, причем $(x,x)=0$ лишь при $x=0$,

(ii) $(x,y)=\overline{(y,x)}$ для всex $x,y\in X$ (в вещественном случае это значит, что $(x,y)=(y,x)$),

(iii) $(\alpha x+\beta y,z)=\alpha (x,z)+\beta (y,z)$ для всex $x,y,z\in X$ и всех скаляров $\alpha$, $\beta$.

Если $(a,b)=0$, то пишym $a\perp b$ и называют векторы $a$ и $b$ взаимно ортогональными.

Определение. $l^2$ – это $\{x=\{x_n\}:\sum |x_n{|}^2<\mathrm{\infty }\}$

$(x,y)={\sum }_n{x}_n{y}_n$

$||x||=\sqrt{\sum x_n^2}$