Перейти к содержанию

Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Билеты/Метрика, норма, скалярное произведение

Материал из Викиверситета

Метрические, нормированные и евклидовы пространства. Пространства и .

[править]

Определение. Метрикой на множестве называется функция , удовлетворяющая следующим условиям:

1) в точности тогда, когда

2) для всex

3) для всex .

Множество с заданной на нём метрикой называют метрическим пространством.

Определение. Нормированным пространством называется линейное пространство над полем вещественных или комплексных чисел с заданной на, нем, функцией , называемой нормой и удовлетворяющей следующим условиям:

(i) лишь при ,

(ii) для всex и всех скаляров ,

(iii) (неравенство треугольника) для всех векторов .

Из условий (i) и (iii) следует, что всякое нормированное пространство оказывается метрическим пространством, если в качестве расстояния между и взять .

Определение. Евклидовым пространством называется вещественное или комплексное линейное пространство с заданным скалярным произведением, т. е. функцией на со значениями в соответствующем поле скаляров, удовлетворяющей следующим условиям:

(i) , причем лишь при ,

(ii) для всex (в вещественном случае это значит, что ),

(iii) для всex и всех скаляров , .

Если , то пишym и называют векторы и взаимно ортогональными.

Определение. – это