Участник:Isbur/Функциональный анализ I
Курс читал Владимир Игоревич Богачёв осенью 2018 года на мехмате МГУ им. М.В. Ломоносова, III курс, отделение механики.
Пререквизиты
[править]Программа курса
[править]- Метрические, нормированные и евклидовы пространства. Пространства и .
- Полные пространства. Примеры. Существование пополнения.
- Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра.
4, Непрерывные отображения. Теорема о сжимающих отображениях,
5, Компакты и их свойства. Вполне ограниченные множества. Критерий вполне ограниченности в терминах последовательностей,
6, Равносильность разных определений компакта в метрическом пространстве (три равносильных описания),
7, Критерии компактности в C[а, Ъ\ (теорема Асколи-Арцела) и в /2,
8, Алгебры и σ-адгебры множеств; σ-алгебра, порожденная классом множеств. Структура открытых множеств на прямой, Борелевекая σ-алгебра,
9, Аддитивные и счетно-аддитивные меры. Критерий счетной аддитивности. Счетная аддитивность меры с приближающим компактным классом,
10, Задача продолжения меры с алгебры. Внешняя мера. Измеримые множества, Счетная аддитивность внешней меры на σ-алгебре измеримых множеств (формулировка теоремы). Единственность продолжения,
11, Построение меры Лебега на прямой и в Rn, Основные свойства меры Лебега,
12, Функции, измеримые относительно σ-алгебры и измеримые относительно меры. Свойства измеримых функций (операции над измеримыми функциями),
13, Сходимость почти всюду. Теорема Егорова,
14, Определение интеграла Лебега, Лемма о монотонной последовательности простых функций (формулировка). Монотонность и линейность интеграла Лебега,
15, Неравенство Чебышёва, Абсолютная непрерывность интеграла Лебега,
16, Теорема Лебега о мажорируемой сходимости,
17, Теорема Лебега-Б, Леви о монотонной сходимости. Теорема Фату,
18, Критерий интегрируемости по Лебегу в терминах рядов. Связь интеграла Лебега с интегралом Римана (собственным и несобственным),
19, Пространства L1 и L2 и их полнота,
20, Произведение пространств с мерами (конструкция произведения и формулировка результата). Теорема Фубини и ее применение,
21, Абсолютно непрерывные функции, их связь с неопределенными интегралами интегрируемых функций и формула Ньютона-Лейбница (формулировки). Вывод формулы интегрирования по частям для абсолютно непрерывных функций.