Непрерывные отображения. Теорема о сжимающих отображениях.

Определение. Отображение ${\textstyle f}$ из метрического пространства ${\textstyle (X,d_{X})}$ в метрическое пространство ${\textstyle (Y,d_{Y})}$ называется непрерывным в точке ${\textstyle x\in X}$ , если для всякой последовательности ${\textstyle \{x_{n}\}}$ , сходящейся к ${\textstyle x}$ , последовательность ${\textstyle \{f(x_{n})\}}$ сходится к точке ${\textstyle f(x)}$ .

Отображение ${\textstyle f}$ называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке.

Определение. Непрерывность в точке ${\textstyle x}$ можно сформулировать в так называемых ( ${\textstyle \varepsilon }$ , ${\textstyle \delta }$ )-терминах: ${\textstyle \forall \varepsilon >0\exists \delta >0:\forall x\;|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon }$

Предложение. Определения эквивалентны.

Предложение. Непрерывность отображения ${\textstyle f}$ равносильна тому, что для всякого открытого множества ${\textstyle V\subset Y}$ множество ${\textstyle f^{-1}(V)}$ открыто в ${\textstyle X}$ . Это эквивалентно тому, что для всякого замкнутого множества ${\textstyle Z\subset Y}$ множество ${\textstyle f^{-1}(Z)}$ замкнуто в ${\textstyle X}$ .

Доказательство. 1) Пусть ${\textstyle f}$ непрерывно и ${\textstyle V}$ открыто в ${\textstyle Y}$ . Положим ${\textstyle U:=f^{-1}(V)}$ . Пусть ${\textstyle x\in U}$ . Для ${\textstyle y=f(x)}$ найдется открытый шар ${\textstyle V_{0}\subset V}$ положительного радиуса с центром в ${\textstyle y}$ , а для этого шара найдется такой открытый шар ${\textstyle U_{0}}$ положительного радиуса с центром в ${\textstyle x}$ , что ${\textstyle f(U_{0})\subset V_{0}\subset V}$ . Это означает открытость ${\textstyle U}$ .

2) Предположим теперь, что прообразы открытых множеств открыты. Покажем, что ${\textstyle f}$ непрерывно в каждой точке ${\textstyle x\in X}$ . Если это не так, то найдется сходящаяся к ${\textstyle x}$ последовательность точек ${\textstyle x_{n}}$ , для которой точки ${\textstyle f(x_{n})}$ не сходятся к ${\textstyle f(x)}$ . Перейдя к подпоследовательности, можно считать, что точки ${\textstyle f(x_{n})}$ не попадают в некоторый открытый шар ${\textstyle V}$ с центром в ${\textstyle f(x)}$ . Значит, ${\textstyle x_{n}\not \in f^{-1}(V)}$ . Однако множество ${\textstyle f^{-1}(V)}$ открыто и содержит ${\textstyle x}$ . Поэтому ${\textstyle \{x_{n}\}}$ не может сходиться к ${\textstyle x}$ , вопреки нашему построению. Итак, ${\textstyle f}$ непрерывно в ${\textstyle x}$ . Утверждение про замкнутые множества следует из описания замкнутых множеств как дополнений открытых и соотношения ${\textstyle f^{-1}(Y\backslash V)=X\backslash f^{-1}(V)}$

Определение. Отображение ${\textstyle f:X\rightarrow Y}$ удовлетворяет условию Липшица с постоянной ${\textstyle L}$ (или липшицево с постоянной ${\textstyle L}$ ), если ${\textstyle d_{Y}(f(x),f(y))\leqslant Ld_{X}(x,y)}$ для всех ${\textstyle x,y\in X}$ .

Определение. Липшицевы отображения с постоянной ${\textstyle L<1}$ называются сжимающими отображениями или сжатиями.

Теорема. (принцип сжимающих отображений) Всякое сжатие ${\textstyle f}$ непустого полного метрического пространства ${\textstyle X}$ имеет единственную неподвижную точку ${\textstyle {\hat {x}}}$ , т. е. ${\textstyle f({\hat {x}})={\hat {x}}}$ . При этом ${\textstyle d({\hat {x}},x_{n})\leqslant L^{n}(1-L)^{-1}d(x_{1},x_{0})}$ для всякого ${\textstyle x_{0}\in X}$ , где ${\textstyle x_{n+1}:=f(x_{n})}$ .

Доказательство. Пусть ${\textstyle x_{0}\in X}$ . Положим ${\textstyle x_{n}=f(x_{n-1})}$ , ${\textstyle n\in \mathbb {N} .}$ Покажем, что последовавелвностъ ${\textstyle \{f(x_{n})\}}$ фундаментальна. Для этого заметим, что

${\textstyle d\left(x_{k+1},x_{k}\right)\leqslant Ld\left(x_{k},x_{k-1}\right)\leqslant \cdots \leqslant L^{k}d\left(x_{1},x_{0}\right)}$

Поэтому ${\textstyle d(x_{n+m},x_{n})}$ оценивается через (неравенство треугольника):

${\textstyle {\begin{array}{c}{d\left(x_{n+m},x_{n+m-1}\right)+d\left(x_{n+m-1},x_{n+m-2}\right)+\cdots +d\left(x_{n+1},x_{n}\right)\leqslant }\\{\leqslant L^{n+m-1}d\left(x_{1},x_{0}\right)+L^{n+m-2}d\left(x_{1},x_{0}\right)+\cdots +L^{n}d\left(x_{1},x_{0}\right)}\end{array}}}$

что дает ${\textstyle d\left(x_{n+m},x_{n}\right)\leqslant L^{n}(1-L)^{-1}d\left(x_{1},x_{0}\right)}$ (сумма геометрической прогрессии). Из этой оценки и условия ${\textstyle L<1}$ следуют фундаментальность ${\textstyle \{x_{n}\}}$ и существование предела ${\textstyle {\widehat {x}}=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}}$ . Очевидно, что

${\textstyle f({\widehat {x}})=\lim _{n\rightarrow \infty }f\left(x_{n}\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n+1}={\widehat {x}}}$

ввиду непрерывности ${\textstyle f}$ . Единственность неподвижной точки ясна из того, что ${\textstyle d({\widehat {x}},y)=d(f({\widehat {x}}),f(y))\leqslant Ld({\widehat {x}},y)}$ для другой неподвижной точки ${\textstyle y}$ . Очевидна и оценка скорости сходимости.