Полные пространства. Примеры. Существование пополнения.

Определение. Метрическое пространство называется полным, если всякая фундаментальная последовательность в нём сходится.

Пример. Полуинтервал ${\textstyle [0,1)}$ с обычной метрикой не является полным пространством, так как последовательность ${\textstyle \{1-1/n\}}$ фундаментальна, но не сходится к точке из ${\textstyle [0,1)}$ . Однако этот же интервал оказвгоается полным пространством с метрикой ${\textstyle d(x,y)=|tg(\pi x/2)-tg(\pi y/2)|}$ .

Определение. Пополнением метрического пространства ${\textstyle M}$ называется такое полное метрическое пространство ${\textstyle {\tilde {M}}}$ , что ${\textstyle M}$ изометрично всюду плотному множеству в ${\textstyle {\tilde {M}}}$ .

Теорема. Всякое метрическое пространство имеет единственное с точностью до изометрии пополнение.

Пререквизиты:

Лемма. Пусть ${\textstyle (M_{1},d_{1})}$ и ${\textstyle (M_{2},d_{2})}$ — полные метрические пространства, ${\textstyle E_{1}\subset M_{1}}$ и ${\textstyle E_{2}\subset M_{2}}$ — всюду плотные множества, и ${\textstyle J}$ — изометрия из ${\textstyle E_{1}}$ на ${\textstyle E_{2}}$ . Тогда ${\textstyle J}$ продолжается единственным образом до изометрии ${\textstyle M_{1}}$ и ${\textstyle M_{2}}$ .

Теорема. Всякое метрическое пространство ${\textstyle (M,d)}$ изометрично части пространства ${\textstyle B(M)}$ .

Определение. ${\textstyle B(\Omega )}$ – множество ограниченных на ${\textstyle \Omega }$ функций.

Доказательство. Можно считать, что ${\textstyle M}$ лежит в пространстве ${\textstyle B(\Omega )}$ с ${\textstyle \Omega =M}$ . Так как ${\textstyle B(M)}$ полно, то искомым пополнением является замыкание множества ${\textstyle M}$ в ${\textstyle B(\Omega )}$ . Остается заметить, что если ${\textstyle M'}$ — некоторое пополнение ${\textstyle M}$ , то ${\textstyle {\overline {M}}}$ и ${\textstyle M'}$ изометричны. Действительно, имеется изометрия ${\textstyle J'}$ между ${\textstyle M}$ и всюду плотной частью ${\textstyle J'(M)}$ в ${\textstyle M'}$ . По лемме эта изометрия продолжается до изометрии из ${\textstyle M}$ на ${\textstyle M'}$ .