Полные пространства. Примеры. Существование пополнения.

Определение. Метрическое пространство называется полным, если всякая фундаментальная последовательность в нём сходится.

Пример. Полуинтервал $[0, 1)$ с обычной метрикой не является полным пространством, так как последовательность ${1 - 1 / n}$ фундаментальна, но не сходится к точке из $[0, 1)$ . Однако этот же интервал оказвгоается полным пространством с метрикой $d (x, y) = | t g (π x / 2) - t g (π y / 2) |$ .

Определение. Пополнением метрического пространства $M$ называется такое полное метрическое пространство $\tilde{M}$ , что $M$ изометрично всюду плотному множеству в $\tilde{M}$ .

Теорема. Всякое метрическое пространство имеет единственное с точностью до изометрии пополнение.

Пререквизиты:

Лемма. Пусть $(M_{1}, d_{1})$ и $(M_{2}, d_{2})$ — полные метрические пространства, $E_{1} \subset M_{1}$ и $E_{2} \subset M_{2}$ — всюду плотные множества, и $J$ — изометрия из $E_{1}$ на $E_{2}$ . Тогда $J$ продолжается единственным образом до изометрии $M_{1}$ и $M_{2}$ .

Теорема. Всякое метрическое пространство $(M, d)$ изометрично части пространства $B (M)$ .

Определение. $B (Ω)$ – множество ограниченных на $Ω$ функций.

Доказательство. Можно считать, что $M$ лежит в пространстве $B (Ω)$ с $Ω = M$ . Так как $B (M)$ полно, то искомым пополнением является замыкание множества $M$ в $B (Ω)$ . Остается заметить, что если $M^{'}$ — некоторое пополнение $M$ , то $\overline{M}$ и $M^{'}$ изометричны. Действительно, имеется изометрия $J^{'}$ между $M$ и всюду плотной частью $J^{'} (M)$ в $M^{'}$ . По лемме эта изометрия продолжается до изометрии из $M$ на $M^{'}$ .