Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра.

Теорема. (о вложенных шарах) Пусть ${\textstyle \{B_{n}\}}$ — последовательность замкнутых непустых множеств со стремящимися к нулю диаметрами в полном, метрическом пространстве ${\textstyle X}$ , причем ${\textstyle B_{n+1}\subset B_{n}}$ для всех ${\textstyle n}$ . Тогда, множество ${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n}}$ непусто.

В частности, последовательность замкнутых вложенных шаров со стремящимися к нулю радиусами в полном метрическом пространстве имеет общую точку.

Доказательство. Возьмем ${\textstyle x_{n}\in B_{n}}$ . Ввиду вложенности этих множеств и стремления их диаметров к нулю последовательность ${\textstyle \{x_{n}\}}$ фундаментальна. Из-за полноты пространства ${\textstyle X}$ она сходится к некоторой точке, которая входит во все ${\textstyle B_{n}}$ в силу их замкнутости и вложенности.

Теорема. (Бэр, о категории) Если ${\textstyle X}$ — полное метрическое пространство, причем ${\textstyle X=\bigcup _{n=1}^{\infty }X_{n}}$ , где множества ${\textstyle X_{n}}$ замкнуты, то хотя бы одно из них содержит открытый шар некоторого положительного радиуса.

Если ${\textstyle X=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ , где ${\textstyle A_{n}}$ — произвольные множества, то хотя бы одно из ${\textstyle A_{n}}$ всюду плотно в некотором шаре ненулевого радиуса, т. е. полное метрическое пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.

Доказательство. Предположим противное. Тогда для всякого ${\textstyle n}$ во всяком открытом шаре ${\textstyle U}$ имеется открытый шар, свободный от точек ${\textstyle X_{n}}$ , ибо иначе ${\textstyle U}$ входит в ${\textstyle {\overline {X_{n}}}=X_{n}}$ . Поэтому найдется замкнутый шар ${\textstyle B_{1}}$ положительного радиуса ${\textstyle r_{1}}$ , свободный от точек ${\textstyle X_{1}}$ . В шаре ${\textstyle B_{1}}$ найдется замкнутый шар ${\textstyle B_{2}}$ радиуса ${\textstyle r_{2}<{\frac {r_{1}}{2}}}$ , свободный от точек ${\textstyle X_{2}}$ . По индукции получаем вложенные замкнутые шары ${\textstyle B_{n}}$ со стремящимися к нулю радиусами и ${\textstyle B_{n}\cap X_{n}=\varnothing }$ . Предыдущая теорема дает общую точку всех ${\textstyle B_{n}}$ , не входящую в объединение ${\textstyle X_{n}}$ , — противоречие. Последнее утверждение теоремы очевидно из первого, применяемого к замыканиям ${\textstyle A_{n}}$ .