Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра.

Теорема. (о вложенных шарах) Пусть ${B_{n}}$ — последовательность замкнутых непустых множеств со стремящимися к нулю диаметрами в полном, метрическом пространстве $X$ , причем $B_{n + 1} \subset B_{n}$ для всех $n$ . Тогда, множество $⋂_{n = 1}^{\infty} B_{n}$ непусто.

В частности, последовательность замкнутых вложенных шаров со стремящимися к нулю радиусами в полном метрическом пространстве имеет общую точку.

Доказательство. Возьмем $x_{n} \in B_{n}$ . Ввиду вложенности этих множеств и стремления их диаметров к нулю последовательность ${x_{n}}$ фундаментальна. Из-за полноты пространства $X$ она сходится к некоторой точке, которая входит во все $B_{n}$ в силу их замкнутости и вложенности.

Теорема. (Бэр, о категории) Если $X$ — полное метрическое пространство, причем $X = ⋃_{n = 1}^{\infty} X_{n}$ , где множества $X_{n}$ замкнуты, то хотя бы одно из них содержит открытый шар некоторого положительного радиуса.

Если $X = ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}$ , где $A_{n}$ — произвольные множества, то хотя бы одно из $A_{n}$ всюду плотно в некотором шаре ненулевого радиуса, т. е. полное метрическое пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.

Доказательство. Предположим противное. Тогда для всякого $n$ во всяком открытом шаре $U$ имеется открытый шар, свободный от точек $X_{n}$ , ибо иначе $U$ входит в $\overline{X_{n}} = X_{n}$ . Поэтому найдется замкнутый шар $B_{1}$ положительного радиуса $r_{1}$ , свободный от точек $X_{1}$ . В шаре $B_{1}$ найдется замкнутый шар $B_{2}$ радиуса $r_{2} < \frac{r_{1}}{2}$ , свободный от точек $X_{2}$ . По индукции получаем вложенные замкнутые шары $B_{n}$ со стремящимися к нулю радиусами и $B_{n} \cap X_{n} = \emptyset$ . Предыдущая теорема дает общую точку всех $B_{n}$ , не входящую в объединение $X_{n}$ , — противоречие. Последнее утверждение теоремы очевидно из первого, применяемого к замыканиям $A_{n}$ .