Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Билеты/Теорема Бэра

Материал из Викиверситета

Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра.[править]

Теорема. (о вложенных шарах) Пусть — последовательность замкнутых непустых множеств со стремящимися к нулю диаметрами в полном, метрическом пространстве , причем для всех . Тогда, множество непусто.

В частности, последовательность замкнутых вложенных шаров со стремящимися к нулю радиусами в полном метрическом пространстве имеет общую точку.

Доказательство. Возьмем . Ввиду вложенности этих множеств и стремления их диаметров к нулю последовательность фундаментальна. Из-за полноты пространства она сходится к некоторой точке, которая входит во все в силу их замкнутости и вложенности.

Теорема. (Бэр, о категории) Если — полное метрическое пространство, причем , где множества замкнуты, то хотя бы одно из них содержит открытый шар некоторого положительного радиуса.

Если , где — произвольные множества, то хотя бы одно из всюду плотно в некотором шаре ненулевого радиуса, т. е. полное метрическое пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.

Доказательство. Предположим противное. Тогда для всякого во всяком открытом шаре имеется открытый шар, свободный от точек , ибо иначе входит в . Поэтому найдется замкнутый шар положительного радиуса , свободный от точек . В шаре найдется замкнутый шар радиуса , свободный от точек . По индукции получаем вложенные замкнутые шары со стремящимися к нулю радиусами и . Предыдущая теорема дает общую точку всех , не входящую в объединение , — противоречие. Последнее утверждение теоремы очевидно из первого, применяемого к замыканиям .