Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Задачи/Открытое множество в виде не более чем счётного объединения интервалов

Условие

Доказать, что произвольное открытое подмножество прямой можно представить в виде объединения не более чем счетного числа попарно не пересекающихся интервалов (возможно, бесконечных).

Решение

Пусть $a$ - точка открытого множества $M$. $\mathbb {Q}$ всюду плотно в $\mathbb {R}$:

Если окрестности других точек из $M$ тоже содержат нашу точку ${\frac {m}{n}}$, то расширим наш интервал:

Если полученный интервал пересекается с окрестностями ещё каких-то точек из $M$, то расширим дальше (если необходимо, вплоть до бесконечности):

Получаем набор непересекающихся интервалов. Этот набор включает в себя все точки $M$, так как процесс можно запустить от любой точки. Этот набор не более чем счётен, так как каждой точке из некого подмножества $\mathbb {Q}$ сопоставлен только один интервал.