Рассмотрим некоторые законы распределения дискретных случайных величин: биномиальный, Пуассона и непрерывных — равномерный, показательный и нормальный.
Пусть проводится испытаний Бернулли, в результате каждого из которых событие может появиться с вероятностью и не появиться с вероятностью . В серии из испытаний событие может появиться раз, . Рассмотрим дискретную случайную величину - число появлений события в испытаниях. Случайная величина имеет следующий закон распределения вероятностей:
0
1
2
Вероятности вычисляются по формуле .
Закон распределения дискретной случайной величины, определяемый формулой Бернулли, называется биномиальным с параметрами и .
Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике.
Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и (записывается ), если ее плотность распределения имеет вид .
Функция распределения имеет вид , .
Если и , то нормальное распределение называют стандартным нормальным. Плотность стандартного нормального распределения имеет вид , а функция распределения .
Значения этих функций находятся из специальных таблиц приложений 1 и 2.
Построить закон распределения и функцию распределения числа попаданий мяча в корзину при бросках, если вероятность попадания каждый раз равна .
Решение:
Здесь случайная величина — число попаданий мяча в корзину при бросках. Так как броски являются независимыми
испытаниями, в каждом из которых событие "попасть в корзину" появляется с одинаковой вероятностью, то случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами , .
,
,
,
.
0
1
2
3
Функция распределения случайной величины имеет следующий вид:
Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна . Сделано выстрелов. Какова вероятность того, что число попаданий в цель будет не меньше и не больше ?
Решение:
Случайная величина — число попаданий в цель при выстрелах. имеет биномиальное распределение с параметрами и . Используя приближение Пуассона с параметром , получим:
Цена деления шкалы измерительного прибора равна . Показания прибора округляют до ближайшего числа на шкале. Полагая, что ошибка измерения распределена по равномерному закону, найти дисперсию .
Решение:
Воспользуемся формулой для вычисления дисперсии равномерно распределенной на отрезке случайной величины .
Производится взвешивание некоторого вещества. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением 20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 5 г
Решение:
Из условия задачи следует, что параметр a нормального закона распределения неизвестен, а . Для определения искомой вероятности воспользуемся формулой , где .
Среднее время безотказной работы прибора равно часам. Полагая, что время безотказной работы распределено по показательному закону, найти вероятность того, что в течение часов прибор не выйдет из строя.
Решение:
Параметр можно найти из соотношения .
По условию задачи , следовательно, .
Пусть случайная величина — время безотказной работы прибора (среднее время между двумя отказами). Тогда искомая вероятность равна .