Теория вероятностей и математическая статистика/Законы распределения случайных величин

Материал из Викиверситета

Рассмотрим некоторые законы распределения дискретных случайных величин: биномиальный, Пуассона и непрерывных — равномерный, показательный и нормальный.

Биномиальный закон распределения[править]

Пусть проводится испытаний Бернулли, в результате каждого из которых событие может появиться с вероятностью и не появиться с вероятностью . В серии из испытаний событие может появиться раз, . Рассмотрим дискретную случайную величину - число появлений события в испытаниях. Случайная величина имеет следующий закон распределения вероятностей:

0 1 2

Вероятности вычисляются по формуле .

Закон распределения дискретной случайной величины, определяемый формулой Бернулли, называется биномиальным с параметрами и .

Функция биномиального распределения имеет вид

.

Распределение Пуассона[править]

Дискретная случайная величина называется распределенной по закону Пуассона с параметром , если она принимает значения с вероятностями , .

Распределение Пуассона с параметром является хорошей аппроксимацией биномиального закона распределения при больших значениях и малых значениях .

Равномерный закон распределения[править]

Кусочно-линейная функция , равномерный рост на интервале от 10 до 30.

Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , если ее плотность имеет вид

Функция распределения определена следующим образом:

Показательный закон распределения[править]

Показательный закон функции распределения для лямбда от 0 до 2

Непрерывная случайная величина имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром , если ее плотность распределения имеет вид

Функция распределения имеет вид

.

Нормальный закон распределения[править]

График плотности вероятности нормального распределения и процент попадания случайной величины на отрезки, равные среднеквадратическому отклонению.

Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике.

Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и (записывается ), если ее плотность распределения имеет вид .

Функция распределения имеет вид , .

Если и , то нормальное распределение называют стандартным нормальным. Плотность стандартного нормального распределения имеет вид , а функция распределения .

Значения этих функций находятся из специальных таблиц приложений 1 и 2.

Введенная ранее функция и связаны соотношением .

Тогда значение функции распределения нормальной случайной величины с параметрами и может быть найдено по формуле .

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины с параметрами и в промежуток равна:

Вероятность отклонения нормальной случайной величины с параметрами и от своего математического ожидания, т. е. вероятность неравенства , равна: .

Если , то .

Примеры[править]

Пример 1[править]

Построить закон распределения и функцию распределения числа попаданий мяча в корзину при бросках, если вероятность попадания каждый раз равна .

Решение:

Здесь случайная величина — число попаданий мяча в корзину при бросках. Так как броски являются независимыми испытаниями, в каждом из которых событие "попасть в корзину" появляется с одинаковой вероятностью, то случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами , .

,

,

,

.

0 1 2 3

Функция распределения случайной величины имеет следующий вид:

Пример 2[править]

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна . Сделано выстрелов. Какова вероятность того, что число попаданий в цель будет не меньше и не больше ?

Решение:

Случайная величина — число попаданий в цель при выстрелах. имеет биномиальное распределение с параметрами и . Используя приближение Пуассона с параметром , получим:

Пример 3[править]

Цена деления шкалы измерительного прибора равна . Показания прибора округляют до ближайшего числа на шкале. Полагая, что ошибка измерения распределена по равномерному закону, найти дисперсию .

Решение:

Воспользуемся формулой для вычисления дисперсии равномерно распределенной на отрезке случайной величины .

Пример 4[править]

Производится взвешивание некоторого вещества. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением 20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 5 г

Решение:

Из условия задачи следует, что параметр a нормального закона распределения неизвестен, а . Для определения искомой вероятности воспользуемся формулой , где .

Получим: .

Пример 5[править]

Среднее время безотказной работы прибора равно часам. Полагая, что время безотказной работы распределено по показательному закону, найти вероятность того, что в течение часов прибор не выйдет из строя.

Решение:

Параметр можно найти из соотношения .

По условию задачи , следовательно, .

Пусть случайная величина — время безотказной работы прибора (среднее время между двумя отказами). Тогда искомая вероятность равна .

Упражнения[править]

1 Выберите верное соотношение, при котором неотрицательная кусочно-непрерывная функция является плотностью распределения случайной величины

2 Чему равняется математическое ожидание для функции распределения ?

3 Каким соотношением связаны функции и ?