Непрерывные случайные величины
[править]
Плотностью распределения случайной величины называется неотрицательная кусочно-непрерывная функция , для которой выполняется соотношение .
Случайная величина, у которой существует плотность распределения, называется непрерывной. Значения непрерывной случайной величины непрерывно заполняют некоторый(конечный или бесконечный) промежуток.
Из определения следует, что .
Важным свойством плотности распределения является .
Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение из отрезка , равна .
Для непрерывной случайной величины верно равенство
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
[править]
Математическое ожидание непрерывной случайной величины вычисляется по формуле .
Дисперсия непрерывной случайной величины имеет вид
Для вычисления дисперсии, так же, как и для дискретной случайной величины, используют более удобную формулу
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины вычисляется по формуле
Для непрерывных случайных величин свойства математического ожидания и дисперсии аналогичны представленным в разделе Дискретные случайные величины.
Случайная величина задана функцией распределения
Найти:
- Плотность распределения;
- .
Решение:
1. Воспользуемся определением плотности распределения вероятностей
2. Будем использовать формулу . Искомая вероятность равна .
Также вероятность можно было найти с помощью формулы .
Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины : ;
.
Случайная величина задана плотностью распределения
Найти:
- постоянную
- функцию распределения
Решение:
1. Для нахождения постоянной воспользуемся свойством плотности . Подставляя в формулу явный вид , получим уравнение .
Отсюда . Значит, .
2. Согласно определению,
Тогда:
- Для получим , так как для .
- Для получим .
- Для получим .
Таким образом, функция распределения имеет вид