Перейти к содержанию

Теория вероятностей и математическая статистика/Непрерывные случайные величины

Материал из Викиверситета

Непрерывные случайные величины

[править]

Плотностью распределения случайной величины называется неотрицательная кусочно-непрерывная функция , для которой выполняется соотношение .

Случайная величина, у которой существует плотность распределения, называется непрерывной. Значения непрерывной случайной величины непрерывно заполняют некоторый(конечный или бесконечный) промежуток.

Из определения следует, что .

Важным свойством плотности распределения является .

Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение из отрезка , равна .

Для непрерывной случайной величины верно равенство

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

[править]

Математическое ожидание непрерывной случайной величины вычисляется по формуле .

Дисперсия непрерывной случайной величины имеет вид

Для вычисления дисперсии, так же, как и для дискретной случайной величины, используют более удобную формулу

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины вычисляется по формуле

Для непрерывных случайных величин свойства математического ожидания и дисперсии аналогичны представленным в разделе Дискретные случайные величины.

Примеры

[править]

Пример 1

[править]

Случайная величина задана функцией распределения

Найти:

  1. Плотность распределения;
  2. .

Решение:

1. Воспользуемся определением плотности распределения вероятностей

2. Будем использовать формулу . Искомая вероятность равна .

Также вероятность можно было найти с помощью формулы .

Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины : ;

.

Пример 2

[править]

Случайная величина задана плотностью распределения

Найти:

  1. постоянную
  2. функцию распределения

Решение:

1. Для нахождения постоянной воспользуемся свойством плотности . Подставляя в формулу явный вид , получим уравнение .

Отсюда . Значит, .

2. Согласно определению,

Тогда:

  1. Для получим , так как для .
  2. Для получим .
  3. Для получим .

Таким образом, функция распределения имеет вид

Упражнения

[править]

1 Выберите верное соотношение, при котором неотрицательная кусочно-непрерывная функция является плотностью распределения случайной величины

2 Какой вид имеет дисперсия непрерывной случайной величины?