Линеаризация уравнений Лагранжа около положения равновесия. Нормальные координаты. Уравнения малых колебаний.

Определение. Линеаризацией системы дифференциальных уравнений $\dot{𝐱} = 𝐯 (𝐱) = C 𝐱 + O_{2} (𝐱), O_{𝟐} (𝐱) = O (| 𝐱 |^{2}) (1)$ около положения равновесия $x = 0$ называется уравнение первого приближения $\dot{x} = C x$ .

При рассмотрении уравнений Лагранжа термин «положение равновесия» $q^{0}$ будем употреблять для точки конфигурационного пространства. Для точки $(𝐪 = 𝐪^{0}, \dot{𝐪} = 0)$ фазового пространства, которая является положением равновесия уравнений Лагранжа, будем использовать термин «состояние равновесия».

Рассмотрим натуральную систему около состояния равновесия $(𝐪 = 𝐪^{0}, \dot{𝐪} = 0)$ . Из явного вида уравнений Лагранжа вытекает такое правило:

Чтобы линеаризовать уравнения Лагранжа в окрестности состояния равновесия $(𝐪 = 𝐪^{0}, \dot{𝐪} = 0)$ , надо заменить лагранжиан $L$ на его квадратичную часть: $L \mapsto \frac{1}{2} \sum a_{i j} {\dot{q}}_{i} {\dot{q}}_{j} - \frac{1}{2} \sum b_{i j} q_{i} q_{j} = \frac{1}{2} ⟨ A \dot{q}, \dot{q} ⟩ - \frac{1}{2} ⟨ B q, q ⟩$ и выписать соответствующие уравнения Лагранжа: $A \ddot{𝐪} + B 𝐪 = 0 (2)$ Здесь $a_{i j} = a_{i j} (0), b_{i j} = \frac{\partial^{2} V (0)}{\partial q_{i} \partial q_{j}}, A = (a_{i j}), B = (b_{i j})$ .

Поскольку матрицы $A$ и $B$ симметрические и $A$ положительно определена, то по теореме об одновременном приведении пары квадратичных форм к главным осям существует собственный базис $𝐞_{1}, \dots, 𝐞_{n}$ такой, что в новых координатах $x_{1}, \dots, x_{n}$ $\begin{matrix} 𝐪 = \sum x_{i} 𝐞_{i} \\ L = \frac{1}{2} ({\dot{x}}_{1}^{2} + \dots + {\dot{x}}_{n}^{2}) - \frac{1}{2} (λ_{1} x_{1}^{2} + \dots + λ_{n} x_{n}^{2}) \end{matrix}$ Здесь $λ_{k}$ — корни уравнения $\det (λ A - B) = 0$ . Собственные векторы $e_{i}$ находятся из условия $(λ_{k} A - B) 𝐞_{k} = 0$ . В нормальных координатах $x_{1}, \dots, x_{n}$ линеаризованные уравнения Лагранжа (2) распадаются на $n$ независимых уравнений: ${\ddot{x}}_{k} + λ_{k} x_{k} = 0, k = 1, \dots, n$ Если положение равновесия — точка невырожденного локального минимума потенциальной энергии, так что все $λ_{k} = ω_{k}^{2} > 0$ , то линеаризованная система $(2)$ называется системой уравнений малых колебаний. Её решения, называемые малыми колебаниями, приближенно описывают решения полной системы уравнений Лагранжа около состояния равновесия $(𝐪 = 𝐪^{0}, \dot{𝐪} = 0)$ .

Числа $ω_{k} > 0$ называются частотами малых колебаний. Общее решение уравнений малых колебаний разлагается в сумму нормальных колебаний: $𝐪 = \sum x_{k} (t) 𝐞_{𝒌}, x_{k} (t) = C_{k} \sin (ω_{k} t + α_{k}),$ постоянные $C_{k}$ и $α_{k}$ произвольны.

Если среди чисел $λ_{k}$ есть отрицательные, то линеаризованные уравнения допускают экспоненциально растущие решения, а положение равновесия неустойчиво.