Линеаризация уравнений Лагранжа около положения равновесия. Нормальные координаты. Уравнения малых колебаний.

Определение. Линеаризацией системы дифференциальных уравнений ${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {v} (\mathbf {x} )=C\mathbf {x} +O_{2}(\mathbf {x} ),\quad O_{\mathbf {2} }(\mathbf {x} )=O\left(|\mathbf {x} |^{2}\right)\quad (1)$ около положения равновесия ${\textstyle x=0}$ называется уравнение первого приближения ${\textstyle {\dot {x}}=Cx}$ .

При рассмотрении уравнений Лагранжа термин «положение равновесия» ${\textstyle q^{0}}$ будем употреблять для точки конфигурационного пространства. Для точки ${\textstyle \left(\mathbf {q} =\mathbf {q} ^{0},{\dot {\mathbf {q} }}=0\right)}$ фазового пространства, которая является положением равновесия уравнений Лагранжа, будем использовать термин «состояние равновесия».

Рассмотрим натуральную систему около состояния равновесия ${\textstyle \left(\mathbf {q} =\mathbf {q} ^{0},{\dot {\mathbf {q} }}=0\right)}$ . Из явного вида уравнений Лагранжа вытекает такое правило:

Чтобы линеаризовать уравнения Лагранжа в окрестности состояния равновесия ${\textstyle \left(\mathbf {q} =\mathbf {q} ^{0},{\dot {\mathbf {q} }}=0\right)}$ , надо заменить лагранжиан ${\textstyle L}$ на его квадратичную часть: $L\mapsto {\frac {1}{2}}\sum a_{ij}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}-{\frac {1}{2}}\sum b_{ij}q_{i}q_{j}={\frac {1}{2}}\langle A{\dot {q}},{\dot {q}}\rangle -{\frac {1}{2}}\langle Bq,q\rangle$ и выписать соответствующие уравнения Лагранжа: $A{\ddot {\mathbf {q} }}+B\mathbf {q} =0\quad (2)$ Здесь ${\textstyle a_{ij}=a_{ij}(0),\quad b_{ij}={\frac {\partial ^{2}V(0)}{\partial q_{i}\partial q_{j}}},\quad A=\left(a_{ij}\right),\quad B=\left(b_{ij}\right)}$ .

Поскольку матрицы ${\textstyle A}$ и ${\textstyle B}$ симметрические и ${\textstyle A}$ положительно определена, то по теореме об одновременном приведении пары квадратичных форм к главным осям существует собственный базис ${\textstyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}}$ такой, что в новых координатах ${\textstyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\begin{array}{c}{\mathbf {q} =\sum x_{i}\mathbf {e} _{i}}\\{L={\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}_{1}^{2}+\cdots +{\dot {x}}_{n}^{2}\right)-{\frac {1}{2}}\left(\lambda _{1}x_{1}^{2}+\cdots +\lambda _{n}x_{n}^{2}\right)}\end{array}}$ Здесь ${\textstyle \lambda _{k}}$ — корни уравнения ${\textstyle \operatorname {det} (\lambda A-B)=0}$ . Собственные векторы ${\textstyle e_{i}}$ находятся из условия ${\textstyle \left(\lambda _{k}A-B\right)\mathbf {e} _{k}=0}$ . В нормальных координатах ${\textstyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ линеаризованные уравнения Лагранжа (2) распадаются на ${\textstyle n}$ независимых уравнений: ${\ddot {x}}_{k}+\lambda _{k}x_{k}=0,\quad k=1,\dots ,n$ Если положение равновесия — точка невырожденного локального минимума потенциальной энергии, так что все ${\textstyle \lambda _{k}=\omega _{k}^{2}>0}$ , то линеаризованная система $(2)$ называется системой уравнений малых колебаний. Её решения, называемые малыми колебаниями, приближенно описывают решения полной системы уравнений Лагранжа около состояния равновесия ${\textstyle \left(\mathbf {q} =\mathbf {q} ^{0},{\dot {\mathbf {q} }}=0\right)}$ .

Числа ${\textstyle \omega _{k}>0}$ называются частотами малых колебаний. Общее решение уравнений малых колебаний разлагается в сумму нормальных колебаний: $\mathbf {q} =\sum x_{k}(t)\mathbf {e} _{\boldsymbol {k}},\quad x_{k}(t)=C_{k}\sin \left(\omega _{k}t+\alpha _{k}\right),$ постоянные ${\textstyle C_{k}}$ и ${\textstyle \alpha _{k}}$ произвольны.

Если среди чисел ${\textstyle \lambda _{k}}$ есть отрицательные, то линеаризованные уравнения допускают экспоненциально растущие решения, а положение равновесия неустойчиво.