Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Карточки/Норма

Нормированным пространством называется линейное пространство ${\textstyle X}$ над полем вещественных или комплексных чисел с заданной на, нем, функцией ${\textstyle ||\cdot ||:X\rightarrow [0,+\infty )}$, называемой нормой и удовлетворяющей следующим условиям:

(i) ${\textstyle ||x||=0}$ лишь при ${\textstyle x=0}$,

(ii) ${\textstyle ||ax||=|a|||x||}$ для всex ${\textstyle x\in X}$ и всех скаляров ${\textstyle a}$,

(iii) (неравенство треугольника) ${\textstyle ||x+y||\leqslant ||x|+||y||}$ для всех векторов ${\textstyle x,y\in X}$.

Из условий (i) и (iii) следует, что всякое нормированное пространство оказывается метрическим пространством, если в качестве расстояния между ${\textstyle x}$ и ${\textstyle y}$ взять ${\textstyle ||x-y||}$.