Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Карточки

Аналогично с аналитической механикой, на этой странице ссылки даются на карточки.

Программа курса

1. [1] Метрические, нормированные и евклидовы пространства. Пространства ${\textstyle l^{2}}$ и ${\textstyle C[a,b]}$.
2. [2] Полные пространства. Примеры. Существование пополнения.
3. [3] Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра.
4. [4] Непрерывные отображения. Теорема о сжимающих отображениях.
5. [5] Компакты и их свойства. Вполне ограниченные множества. Критерий вполне ограниченности в терминах последовательностей.
6. [6] Равносильность разных определений компакта в метрическом пространстве (три равносильных описания) .
7. [7] Критерии компактности в $C[a,b]$ (теорема Асколи-Арцела) и в $\ell ^{2}$.
8. [8] Алгебры и σ-алгебры множеств; σ-алгебра, порожденная классом множеств. Структура открытых множеств на прямой. Борелевская σ-алгебра.
9. [9] Аддитивные и счётно-аддитивные меры. Критерий счетной аддитивности. Счетная аддитивность меры с приближающим компактным классом,
10. [10] Задача продолжения меры с алгебры. Внешняя мера. Измеримые множества. Счетная аддитивность внешней меры на σ-алгебре измеримых множеств (формулировка теоремы). Единственность продолжения,
11. [11] Построение меры Лебега на прямой и в $\mathbb {R} ^{n}$. Основные свойства меры Лебега.
12. [12] Функции, измеримые относительно σ-алгебры и измеримые относительно меры. Свойства измеримых функций (операции над измеримыми функциями).
13. [13] Сходимость почти всюду. Теорема Егорова.
14. [14] Определение интеграла Лебега. Лемма о монотонной последовательности простых функций (формулировка). Монотонность и линейность интеграла Лебега.
15. [15] Неравенство Чебышёва. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега,
16. [16] Теорема Лебега о мажорируемой сходимости.
17. [17] Теорема Лебега-Беппо Леви о монотонной сходимости. Теорема Фату.
18. [18] Критерий интегрируемости по Лебегу в терминах рядов. Связь интеграла Лебега с интегралом Римана (собственным и несобственным).
19. [19] Пространства L¹ и L² и их полнота.
20. [20] Произведение пространств с мерами (конструкция произведения и формулировка результата). Теорема Фубини и ее применение.
21. [21] Абсолютно непрерывные функции, их связь с неопределенными интегралами интегрируемых функций и формула Ньютона-Лейбница (формулировки). Вывод формулы интегрирования по частям для абсолютно непрерывных функций.