Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Карточки/Скалярное произведение

Евклидовым пространством называется вещественное или комплексное линейное пространство ${\textstyle X}$ с заданным скалярным произведением, т. е. функцией ${\textstyle (\cdot ,\cdot )}$ на ${\textstyle X\times X}$ со значениями в соответствующем поле скаляров, удовлетворяющей следующим условиям:

(i) ${\textstyle (x,x)\geqslant 0}$, причем ${\textstyle (x,x)=0}$ лишь при ${\textstyle x=0}$,

(ii) ${\textstyle (x,y)={\overline {(y,x)}}}$ для всex ${\textstyle x,y\in X}$ (в вещественном случае это значит, что ${\textstyle (x,y)=(y,x)}$),

(iii) ${\textstyle (\alpha x+\beta y,z)=\alpha (x,z)+\beta (y,z)}$ для всex ${\textstyle x,y,z\in X}$ и всех скаляров ${\textstyle \alpha }$, ${\textstyle \beta }$.

Если ${\textstyle (a,b)=0}$, то пишyт ${\textstyle a\perp b}$ и называют векторы ${\textstyle a}$ и ${\textstyle b}$ взаимно ортогональными.