Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Карточки/Интеграл Лебега/Для простых функций/Монотонность и линейность/Доказательство

1. $\int _{E}c\phi (x)dx=\sum _{i=1}^{m}ck_{i}m\left(S_{i}\cap E\right)=c\sum _{i=1}^{m}k_{i}m\left(S_{i}\cap E\right)=c\int _{E}\phi (x)dx$

2. $\phi +\psi =\sum _{i,j}\left(k_{i}+l_{j}\right)\chi _{\left(S_{i}\cap T_{j}\right)}$

${\begin{aligned}\int _{E}(\phi (x)+\psi (x))dx&=\sum _{i,j}\left(k_{i}+l_{j}\right)m\left(S_{i}\cap T_{j}\cap E\right)\\&=\sum _{i=1}^{m}k_{i}\sum _{j=1}^{n}m\left(S_{i}\cap T_{j}\cap E\right)\\&+\sum _{j=1}^{m}l_{j}\sum _{i=1}^{m}m\left(S_{i}\cap T_{j}\cap E\right)\\&=\sum _{i=1}^{m}k_{i}m\left(S_{i}\cap E\right)+\sum _{j=1}^{n}l_{j}m\left(T_{j}\cap E\right)\\&=\int _{E}\phi (x)dx+\int _{E}\psi (x)dx\end{aligned}}$

3. Если $\varphi <\psi$, то мы можем переписать наши функции:

$\phi =\sum _{i,j}k_{i}\chi _{\left(s_{i}\cap T_{j}\right)},\quad \psi =\sum _{i,j}l_{j}\chi _{\left(S_{i}\cap T_{j}\right)}$,

где для каждой пары $i,j$, для которой $S_{i}\cap T_{j}\cap E\neq \emptyset$, имеем $k_{i}\leq l_{j}$.

Тогда

$\int _{E}\phi (x)dx=\sum _{i,j}k_{i}m\left(S_{i}\cap T_{j}\cap E\right)\leq \sum _{i,j}l_{j}m\left(S_{i}\cap T_{j}\cap E\right)=\int _{E}\psi (x)dx$

4.

${\begin{aligned}\int _{E}\phi (x)dx&=\sum _{i=1}^{m}k_{i}\left(m\left(S_{i}\cap E_{1}\right)+m\left(S_{i}\cap E_{2}\right)\right)\\&=\sum _{i=1}^{m}k_{i}m\left(S_{i}\cap E_{1}\right)+\sum _{i=1}^{m}k_{i}m\left(S_{i}\cap E_{2}\right)\\&=\int _{E_{1}}\phi (x)dx+\int _{E_{2}}\phi (x)dx\end{aligned}}$