Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Карточки/Интеграл Лебега/Для простых функций/Монотонность и линейность

Теорема. Пусть $\phi$ и $\psi$ - простые функции, $c\in ℝ$, $E=E_1\cup E_2$, $E_1$ и $E_2$ - измеримые непересекающиеся множества. Выполняются следующие свойства:

1. ${\int }_{E}c\phi (x)dx=c{\int }_E\phi (x)dx$
2. ${\int }_E(\phi (x)+\psi (x))dx={\int }_E\phi (x)dx+{\int }_E\psi (x)dx$
3. Если $\phi (x)\le \psi (x)$ для любого $x\in E$, тогда ${\int }_E\varphi (x)dx\le {\int }_E\psi (x)dx$ и
4. ${\int }_E\varphi (x)dx={\int }_{E_1}\varphi (x)dx+{\int }_{E_2}\varphi (x)dx$

См. также

Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Карточки/Интеграл Лебега/Для простых функций/Монотонность и линейность/Доказательство