Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Карточки/Мотивация введения понятия абсолютно непрерывных функций

Интересует такой вопрос:

Если $f$ - непрерывная функция с ограниченной вариацией, то будет ли всегда верно, что

$f(x)=\int _{a}^{x}f^{\prime }(t)dt$?

Ответ - нет.

Пример. (Лестница дьявола, в наших обозначениях - $DS(x)$) Полная вариация этой функции равна $1$, значит, она ограниченной вариации. Это непрерывная функция, постоянная на открытых интервалах, формирующих дополнение к канторову множеству. Последнее имеет меру 0, значит,

${\frac {d}{dx}}\mathrm {DS} (x)=0$ почти всюду.

Нам хотелось бы, чтобы интеграл функции, равной нулю почти всюду, был постоянной функцией, однако $DS(x)$ не константа. Нужно более сильное условие - абсолютная непрерывность.

Покажем, что лестница дьявола не абсолютно непрерывна.

Пусть $\varepsilon ={\frac {1}{2}}$. Наша функция увеличивается на ${\frac {1}{2}}$ от $x=0$ до $x={\frac {1}{3}}$, так что наш ответ $\delta$ должен быть меньше, чем ${\frac {1}{3}}$. Но рост в ${\frac {1}{2}}$ просиходит также и на интервалах $[0,{\frac {1}{9}}]$ и $[{\frac {2}{9}},{\frac {1}{3}}]$. Наша $\delta$ должна быть меньше, чем ${\frac {2}{9}}$. Но то же самое происходит, когда мы рассмотрим следующие 4 интервала, каждый длины ${\frac {1}{27}}$. Ответ $\delta$ тогда должен быть меньше, чем ${\frac {4}{27}}$. Продолжая в том же духе, мы видим, что для каждого натурального $n$

$\delta <{\frac {2^{n}}{3^{n+1}}}{\stackrel {n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}0$

Таким образом, подходящего $\delta$ не существует.