Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Карточки/Предел измеримых функций

Теорема. Пусть $\{f_{n}\}$ - последовательность измеримых функций, $\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x)$ почти всюду на $[a,b]$, тогда $f$ - измеримая функция.

Доказательство

Любое множество внешней меры нуль измеримо, значит, любое подмножество множества нулевой меры тоже имеет меру нуль.

Существует множество $S$ меры нуль такое, что

${\underline {\lim }}_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x)$

для любого $x\in [a,b]-S$, где $\mu (S)=0$. Выберем некоторое $c\in \mathbb {R}$, тогда множества

$F_{1}=\{x|f(x)>c\},\quad \quad F_{2}=\left\{x|{\underline {\lim }}_{n\to \infty }f_{n}(x)>c\right\}$

не обязательно совпадают, но любой элемент, который есть в одном, но нет в другом, должен быть в $S$.

Пусть $S_{1}=F_{1}-F_{2},\;S_{2}=F_{2}-F_{1}$. $F_{2}$ измеримо. $S_{1}$ и $S_{2}$ - подмножества $S$, значит, они тоже измеримы. $F_{1}=\left(F_{2}\cup S_{1}\right)\cap S_{2}^{C}$, значит, $F_{1}$ измеримо.