Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Карточки/Теорема Бэра/Доказательство

Предположим противное. Тогда для всякого $n$ во всяком открытом шаре $U$ имеется открытый шар, свободный от точек $X_n$, ибо иначе $U$ входит в $\overline{X_n}=X_n$. Поэтому найдется замкнутый шар $B_1$ положительного радиуса $r_1$, свободный от точек $X_1$. В шаре $B_1$ найдется замкнутый шар $B_2$ радиуса $r_2<\frac{r_1}{2}$, свободный от точек $X_2$. По индукции получаем вложенные замкнутые шары $B_n$ со стремящимися к нулю радиусами и $B_n\cap X_n=\varnothing$. Предыдущая теорема дает общую точку всех $B_n$, не входящую в объединение $X_n$, — противоречие. Последнее утверждение теоремы очевидно из первого, применяемого к замыканиям $A_n$.