Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Карточки/Теорема о сжимающих отображениях/Доказательство

Доказательство. Пусть ${\textstyle x_{0}\in X}$. Положим ${\textstyle x_{n}=f(x_{n-1})}$, ${\textstyle n\in \mathbb {N} .}$ Покажем, что последовавелвностъ ${\textstyle \{f(x_{n})\}}$ фундаментальна. Для этого заметим, что

${\textstyle d\left(x_{k+1},x_{k}\right)\leqslant Ld\left(x_{k},x_{k-1}\right)\leqslant \cdots \leqslant L^{k}d\left(x_{1},x_{0}\right)}$

Поэтому ${\textstyle d(x_{n+m},x_{n})}$ оценивается через (неравенство треугольника):

${\textstyle {\begin{array}{c}{d\left(x_{n+m},x_{n+m-1}\right)+d\left(x_{n+m-1},x_{n+m-2}\right)+\cdots +d\left(x_{n+1},x_{n}\right)\leqslant }\\{\leqslant L^{n+m-1}d\left(x_{1},x_{0}\right)+L^{n+m-2}d\left(x_{1},x_{0}\right)+\cdots +L^{n}d\left(x_{1},x_{0}\right)}\end{array}}}$

что дает ${\textstyle d\left(x_{n+m},x_{n}\right)\leqslant L^{n}(1-L)^{-1}d\left(x_{1},x_{0}\right)}$ (сумма геометрической прогрессии). Из этой оценки и условия ${\textstyle L<1}$ следуют фундаментальность ${\textstyle \{x_{n}\}}$ и существование предела ${\textstyle {\widehat {x}}=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}}$. Очевидно, что

${\textstyle f({\widehat {x}})=\lim _{n\rightarrow \infty }f\left(x_{n}\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n+1}={\widehat {x}}}$

ввиду непрерывности ${\textstyle f}$. Единственность неподвижной точки ясна из того, что ${\textstyle d({\widehat {x}},y)=d(f({\widehat {x}}),f(y))\leqslant Ld({\widehat {x}},y)}$ для другой неподвижной точки ${\textstyle y}$. Очевидна и оценка скорости сходимости.