Участник:Isbur/Теоретическая механика III/Билеты/Ляпунов, Барбашин, Красовский

Устойчивость и асимптотическая устойчивость состояний равновесия обыкновенных дифференциальных уравнений по Ляпунову

Система обыкновенных дифференциальных уравнений: $$\dot{x}=v(x);x\in {ℝ}^n(1)$$

$⊐x(t)=g^t(x_0)$ – решение системы (1) с начальными условиями $x(0)=x_0$.

Состояние равновесия – это $x_0\in {ℝ}^n:x(t)\equiv x_0$ – решение (1).

Без ограничения общности $x_0=0$. Работаем в открытом шаре $B_{\rho }=\{x:\Vert x\Vert <\rho \},\rho >0$

Определение. Состояние равновесия $x=0$ называется устойчивым по Ляпунову, если $\mathrm{\forall }\epsilon >0(\epsilon <\rho )\mathrm{\exists }\delta >0:\mathrm{\forall }{x}^{\ast }\in B_{\rho }$ решение уравнения (1) $x(t)$ с начальным условием $x(0)=x^{\ast }$ существует при $t>0$ и $x(t)\in B_{\epsilon }\mathrm{\forall }t$.

Определение. Состояние равновесия $x=0$ называется асимптотически устойчивым по Ляпунову, если:

1. оно устойчиво по Ляпунову
2. $\mathrm{\exists }\delta >0:\mathrm{\forall }{x}^{\ast }\in B_{\delta }$ решения $\mathrm{\exists }\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left|g^t\left(x^{\ast }\right)\right|=0$

Функция Ляпунова, теорема Ляпунова об устойчивости

Теорема. (Ляпунов) Если найдется гладкая функция $V$ на шаре $B_{\rho }$, такая, что:

1) $V(0)=0,V(x)>0$ для любого $x\in B_{\rho }\mathrm{\setminus }\{0\}$

2) $\dot{V}(𝐱)=⟨\frac{\partial V}{\partial 𝐱},𝐯⟩\le 0$ для любого $x\in B_{\rho }$

то состояние равновесия $x=0$ устойчиво.

Такая функция V обычно называется функцией Ляпунова.

Доказательство. Зададимся произвольным $\epsilon \in (0,\rho )$. Из условия 1 теоремы

$$\sigma =\underset{|x|=\epsilon }{min}V(x)>0$$

В силу непрерывности функции V существует $\delta >0$ такое, что $V<0$ на шаре $B_{\delta }$ (см. рисунок). Возьмем произвольное $x_0\in B_{\delta }$ и рассмотрим решение $x(t)=g^t(x_0)$. Из условия 2 следует, что $V(𝐱(t))\le V\left({𝐱}_0\right)<𝝈$ при $t⩾0$. Таким образом, решение $x(t)$ не может пересечь сферу $|x|=\delta$, так что $x(t)\in B_{\epsilon }$ при $t>0$.

Теорема Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости (формулировка)

Теорема. Пусть найдется гладкая функция V на шаре $B_{\rho }$ такая, что:

1) $V(0)=0,V(x)>0$ для любого $x\in B_{\rho }\mathrm{\setminus }\{0\}$

2) $\dot{V}(𝐱)=⟨\frac{\partial V}{\partial 𝐱},𝐯⟩\le 0$ для любого $x\in B_{\rho }$

3) множество $\dot{V}(x)=0$ не содержит решений системы (1), отличных от нулевого.

Тогда состояние равновесия $x=0$ асимптотически устойчиво.

Теорема Красовского о неустойчивости (формулировка)

Теорема. (теорема Красовского). Пусть найдется гладкая функция V на шаре $B_{\rho }$ такая, что:

1) $V(0)=0$, причем начало координат $x=0$ принадлежит границе области $\mathrm{\Omega }=\{𝐱\in B_{\rho }:V(x)>0\}$;

2) $\dot{V}(x)>0$ в области $\mathrm{\Omega }$;

3) множество $\{𝐱\in 𝜴:\dot{V}(𝐱)=0\}$ не содержцт ненулевых решений системы (1).

Тогда состояние равновесия $x=0$ неустойчиво.