Устойчивость и асимптотическая устойчивость состояний равновесия обыкновенных дифференциальных уравнений по Ляпунову

Система обыкновенных дифференциальных уравнений: ${\dot {x}}=v(x);\quad x\in \mathbb {R} ^{n}\quad (1)$

${\textstyle \sqsupset x(t)=g^{t}(x_{0})}$ – решение системы (1) с начальными условиями ${\textstyle x(0)=x_{0}}$ .

Состояние равновесия – это ${\textstyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}:x(t)\equiv x_{0}}$ – решение (1).

Без ограничения общности ${\textstyle x_{0}=0}$ . Работаем в открытом шаре ${\textstyle B_{\rho }=\{x:\|x\|<\rho \},\quad \rho >0}$

Определение. Состояние равновесия ${\textstyle x=0}$ называется устойчивым по Ляпунову, если ${\textstyle \forall \varepsilon >0\;(\varepsilon <\rho )\;\exists \delta >0:\forall x^{*}\in B_{\rho }}$ решение уравнения (1) ${\textstyle x(t)}$ с начальным условием ${\textstyle x(0)=x^{*}}$ существует при ${\textstyle t>0}$ и ${\textstyle x(t)\in B_{\varepsilon }\;\forall t}$ .

Определение. Состояние равновесия ${\textstyle x=0}$ называется асимптотически устойчивым по Ляпунову, если:

оно устойчиво по Ляпунову
${\textstyle \exists \delta >0:\forall x^{*}\in B_{\delta }}$ решения ${\textstyle \exists \lim _{t\rightarrow +\infty }\left|g^{t}\left(x^{*}\right)\right|=0}$

Функция Ляпунова, теорема Ляпунова об устойчивости

Теорема. (Ляпунов) Если найдется гладкая функция ${\textstyle V}$ на шаре ${\textstyle B_{\rho }}$ , такая, что:

1) ${\textstyle V(0)=0,\quad V(x)>0}$ для любого ${\textstyle x\in B_{\rho }\backslash \{0\}}$

2) ${\textstyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )=\left\langle {\frac {\partial V}{\partial \mathbf {x} }},\mathbf {v} \right\rangle \leq 0}$ для любого ${\textstyle x\in B_{\rho }}$

то состояние равновесия ${\textstyle x=0}$ устойчиво.

Такая функция V обычно называется функцией Ляпунова.

Доказательство. Зададимся произвольным ${\textstyle \varepsilon \in (0,\rho )}$ . Из условия 1 теоремы

$\sigma =\min _{|x|=\varepsilon }V(x)>0$

В силу непрерывности функции V существует ${\textstyle \delta >0}$ такое, что ${\textstyle V<0}$ на шаре ${\textstyle B_{\delta }}$ (см. рисунок). Возьмем произвольное ${\textstyle x_{0}\in B_{\delta }}$ и рассмотрим решение ${\textstyle x(t)=g^{t}(x_{0})}$ . Из условия 2 следует, что ${\textstyle V(\mathbf {x} (t))\leq V\left(\mathbf {x} _{0}\right)<\mathbf {\sigma } }$ при ${\textstyle t\geqslant 0}$ . Таким образом, решение ${\textstyle x(t)}$ не может пересечь сферу ${\textstyle |x|=\delta }$ , так что ${\textstyle x(t)\in B_{\varepsilon }}$ при ${\textstyle t>0}$ .

Теорема Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости (формулировка)

Теорема. Пусть найдется гладкая функция V на шаре ${\textstyle B_{\rho }}$ такая, что:

1) ${\textstyle V(0)=0,\quad V(x)>0}$ для любого ${\textstyle x\in B_{\rho }\backslash \{0\}}$

2) ${\textstyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )=\left\langle {\frac {\partial V}{\partial \mathbf {x} }},\mathbf {v} \right\rangle \leq 0}$ для любого ${\textstyle x\in B_{\rho }}$

3) множество ${\textstyle {\dot {V}}(x)=0}$ не содержит решений системы (1), отличных от нулевого.

Тогда состояние равновесия ${\textstyle x=0}$ асимптотически устойчиво.

Теорема Красовского о неустойчивости (формулировка)

Теорема. (теорема Красовского). Пусть найдется гладкая функция V на шаре ${\textstyle B_{\rho }}$ такая, что:

1) ${\textstyle V(0)=0}$ , причем начало координат ${\textstyle x=0}$ принадлежит границе области ${\textstyle \Omega =\left\{\mathbf {x} \in B_{\rho }:V(x)>0\right\}}$ ;

2) ${\textstyle {\dot {V}}(x)>0}$ в области ${\textstyle \Omega }$ ;

3) множество ${\textstyle \{\mathbf {x} \in \mathbf {\Omega } :{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}}$ не содержцт ненулевых решений системы (1).

Тогда состояние равновесия ${\textstyle x=0}$ неустойчиво.