Основы дифференциальных уравнений

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску


Станем ли мы отказываться от математики лишь по той причине,

что не понимаем, почему она так эффективна в описании природы? Хевисайд как-то заметил:
"Стану ли я отказываться от обеда только потому, что не до конца понимаю процесс пищеварения?"

Опыт опровергает сомневающихся.


М. Клайн. Математика. Утрата определенности.


Понятие дифференциального уравнения[править]

Примеры физических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям. Начальные и граничные (краевые) условия.

Уравнения первого порядка[править]

Простейшие типы уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах. Постановка задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Существование и единственность решения задачи Коши. Зависимость решения задачи Коши от начальных условий и параметров. Понятие об асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Уравнение, неразрешенное относительно производной.

Уравнения n-го порядка[править]

Интегрируемые типы уравнений n-го порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные уравнения n-го порядка и их свойства. Общее решение однородного уравнения. Общее решение неоднородного уравнения. Методы построения частного решения неоднородного уравнения (импульсная функция, метод вариации постоянных). Уравнения с постоянными коэффициентами.

Задача Коши[править]

Задача Коши для ДУ первого порядка с краевыми условиями первого рода. Теорема Пеано о разрешимости задачи Коши. Теоремы о единственности решения задачи Коши.

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений[править]

Первые интегралы. Существование и единственность решения задачи Коши. Общая теория систем линейных уравнений. Общее решение однородной системы линейных уравнений. Общее решение неоднородной системы уравнений. Построение частного решения неоднородной системы (импульсная матрица, метод вариации постоянных). Системы уравнений с постоянными коэффициентами.

Теория устойчивости[править]

Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость решений систем дифференциальных уравнений. Устойчивость по Ляпунову решений систем с постоянными коэффициентами. Исследование устойчивости решения по первому приближению. Функция Ляпунова. Классификация точек покоя. Теорема Ляпунова об устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости.

Задача Штурма-Лиувилля[править]

Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных функций и собственных значений. Теорема Стеклова

Краевые задачи для линейных уравнений второго порядка[править]

Краевая задача для неоднородного уравнения. Функция Грина.

Метод конечных разностей[править]

Понятие разностной схемы. Сходимость, аппроксимация и устойчивость. Разностные схемы решения начальных и краевых задач.

Литература[править]

См. также[править]